Система остаточных классов

В 60-е годы 20-го столетия широкую популярность завоевала так называемая машинная арифметика в остаточных классах. Толчком к исследованиям в этой области послужили опубликованные в 1955-1957 гг. работы чешских ученых М. Валаха и А. Свободы, посвященные представлению чисел в виде совокупности неотрицательных вычетов по группе взаимно простых оснований. Идея была подхвачена советскими учеными И.Я. Акушским и Д.И. Юдицким, опубликовавшим в 1968 г. книгу «Машинная арифметика в остаточных классах», фундаментальный труд по новой машинной арифметике. На вопрос о побудительных мотивах создания применения СОК в компьютерах И.Я. Акушский и Д.И. Юдицкий отвечают следующим образом:

«Следует отметить, что позиционные системы счисления, в которых представляется и обрабатывается информация в современных вычислительных машинах, обладает существенным недостатком – наличием межразрядных связей, которые накладывают свой отпечаток на способы реализации арифметических операций, усложняют аппаратуру и ограничивают быстродействие. Поэтому естественно изыскание возможностей такой арифметики, в которой бы поразрядные связи отсутствовали.

Оказалось, что такая арифметика может быть построена на базе непозиционной системы счисления, в частности системы остаточных классов».

Таким образом, главной побудительной причиной разработки машинной арифметики в системе остаточных классов (СОК) явилось преодоление серьезного недостатка позиционных систем счисления, в частности, двоичной системы – наличие межразрядных связей при выполнении арифметических операций, что принципиально снижало быстродействие компьютеров.

Важно подчеркнуть, что Акушский и Юдицкий были не только теоретиками в области СОК, но и принимали активное участие в реализации компьютера на основе СОК. Такой компьютер начал создаваться в Советском Союзе еще в 1957 г. В компьютере, основанном на СОК, была достигнута рекордная производительность – 1,25 млн. операций в секунду, что почти на порядок превышало производительность компьютеров того времени, которые проектировались на основе классической двоичной системы счисления.

Будучи весьма перспективной в отношении межразрядных связей, система остаточных классов оказалась далеко не безупречной в других отношениях, на что обращают внимание Акушский и Юдицкий в своей книге:

«Однако столь удобной в одном отношении системе остаточных классов присущ ряд недостатков в других отношениях: ограниченность действия этой системы полем целых положительных чисел, трудность определения соотношений чисел по величине, определения выхода результата операции из диапазона и т.д.»

И хотя авторам книги «Машинная арифметика в остаточных классах» удалось продвинуться в преодолении этих трудностей, но полностью разрешить их не удалось. «Компьютерной революции» на основе СОК не получилось, то есть проектировщики компьютеров отдавали все же предпочтение классической позиционной двоичной системе счисления, то есть позиционный принцип представления чисел, одно из величайших изобретений математической мысли, остался непоколебимым. Преодоление недостатков, присущих двоичной системе счисления, надо было искать в рамках позиционного представления. И появление систем счисления с иррациональными основаниями стало дальнейшим развитием машинной арифметики.