Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Разложение в сумму квадратов.
Каждое целое неотрицательное число можно разложить в сумму из 4 квадратов целых чисел.
Это известное утверждение. Но мне хочется узнать сколькими способами можно разложить в сумму 3 квадратов целых чисел известное мне натуральное число? А может быть известно что-то о распределении чисел, которые не представляются в виде суммы 3 квадратов?

P.S. Я не специалист в теории числе и смежных областях. Поэтому даже не представляю, насколько сложны данные вопросы.

P.S.S. В принципе, мне интересно так же, сколькими способами натуральное число раскладывается в сумму двух квадратов целых чисел. Или хотя бы условия, когда нат. число не раскладывается в сумму 2 квадратов.



(Post a new comment)


[info]rus4
2008-05-19 04:11 pm UTC (link)
В виде суммы трех квадратов представимы все числа, кроме имеющих вид 4^k(8n+7) (k,n --- целые неотрицательные).

В виде суммы двух квадратов представимы все числа, в разложение которых на простые множители все простые вида 4k+3 входят в четных степенях.

Количество способов представить число в виде суммы двух квадратов есть разность между количеством делителей вида 4n+1 и 4n+3. В виде суммы четырех квадратов --- количество делителей, не кратных 4. (В зависимости от того, считать ли перестановки слагаемых за разные представления, появляются множители).

(Reply to this) (Thread)


[info]buddha239
2008-05-19 09:35 pm UTC (link)
"Количество способов представить число в виде суммы двух квадратов есть разность между количеством делителей вида 4n+1 и 4n+3." - да неужто?:)

(Reply to this) (Parent)(Thread)


[info]rus4
2008-05-20 05:55 am UTC (link)
Ну, умножить на 4 из-за перестановок (так лучше, с умножением на 4, не надо отдельно рассматривать числа типа 2k^2). http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html, формула 20.

(Reply to this) (Parent)(Thread)


[info]buddha239
2008-05-20 06:29 am UTC (link)
А, виноват - все делителей, не только простых.
Мне-то формула 17 гораздо больше нравится.

(Reply to this) (Parent)


[info]relf
2008-05-19 04:18 pm UTC (link)
см. формулу (32): http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

(Reply to this)


[info]xgrbml
2008-05-19 05:09 pm UTC (link)
Для начала рекомендую книгу Ж.-П.Серра "Курс арифметики".

(Reply to this) (Thread)


[info]tramsm
2008-05-19 10:19 pm UTC (link)
Спасибо. Вроде как неплохой учебник (жаль, что упражнений никаких нет). Добавил в to read list

(Reply to this) (Parent)


[info]burivykh
2008-09-08 04:23 pm UTC (link)
На самом деле, конспекты (замечательно прочитанного!) курса Володи Доценко на Дубне-07 идеально вписываются в поставленное "техническое задание": см. здесь.

(Reply to this) (Parent)


[info]zroslav
2008-06-06 02:44 pm UTC (link)
в книжке Каца и Чена "квантовый анализ" есть формулы (с доквами) для числа разложений в сумму двух и в сумму 4 квадратов