ВРЕМЯ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ

С. Ф. Тимашев

"Что же такое время? Если никто меня об этом не спрашивает, я знаю, что такое время; если бы я захотел объяснить спрашивающему – нет, не знаю. Настаиваю, однако, на том, что твердо знаю: если бы ничего не происходило, не было бы будущего времени; если бы ничего не было, не было бы и настоящего времени".

Аврелий Августин. Исповедь. М.: Канон+ ОИ "Реабилитация", 2000, с.217.

Постановка проблемы.

Бл. Августин (354-430), по-видимому, впервые наиболее последовательно и определенно ввел представления о времени и его длительности как понятиях субъективных, созданных нашим умом, который, воспринимая прошлое и будущее усилием внимания и памяти, может разложить прошлое на ряд последовательных событий и выделить ряд преходящих мгновений, сменяющих одно другое. При этом о времени можно говорить, если уже есть "сотворенные создания, которые как-то и в каком-то движении меняются" [1, с. 439]. Иначе: только с сотворения мира появилось время. Для измерения длительности событий, как и при измерении длины тел, согласно Бл. Августину необходимо вводить иерархию временных интервалов подобно тому, как мы измеряем "величину стихотворения числом стихов, длину стиха числом стоп, длину стоп числом слогов и длительность долгих длительностью коротких" [1, с.226]. Эти образы адекватны современным представлениям о субъективности вводимого времени и удобных временных интервалов для фиксации последовательности событий на различных пространственно-временных масштабах, а также существующему образу "абсолютного времени", отсчитываемого по разным шкалам условных единичных интервалов от Инфляционного Большого взрыва.

Ниже нас будут интересовать проблемы, обсуждаемые при введении понятия времени в естественные науки. Хорошо известно, что базовые уравнения классической механики в виде системы дифференциальных уравнений приводят к регулярным, детерминированным и обратимым во времени траекториям. Обратимость во времени базовых уравнений свойственна и квантовой механике: уравнение Шредингера описывает обратимую и детерминистическую эволюцию волновой функции. В то же время опыт демонстрирует неизбежную необратимость всех фиксируемых явлений в окружающем мире. Тем не менее, классическая динамика и квантовая механика позволяют решать множество практических задач, восхищая логической последовательностью и мощью разработанных методов анализа получаемых уравнений. Области эффективных приложений этих наук хорошо известны, также как и те области знания – прежде всего, термодинамика и статистическая физика, в которых проявляется неадекватность представлений о необратимости времени. Последнее позволило Пригожину и Стенгерс [2, с.63] заметить, что классическая механика описывает "поистине странный мир".

Неадекватность базовых уравнений классической динамики впервые осознал Больцман (1844-1906) при своих попытках обоснования 2-го начала термодинамики и введения образа "стрелы времени" как символа необратимости эволюции реальных систем. Больцман понимал, что для выявления генезиса необратимости во времени реальных процессов необходимо выйти за рамки известных научных парадигм. Но как это конкретно осуществить? От чего в существующих парадигмах надо отказаться? В поисках ответа на эти вопросы Больцман ввел предположение, названное им эргодической гипотезой, позволяющее заменять средние от динамических величин по времени средними от тех же величин по статистическому ансамблю. Впоследствии Нейман и Биркгоф (см. [3]) показали, что эргодическая гипотеза есть прямое следствие обратимых по времени уравнений классической динамики. Введение эргодической гипотезы вызвало известные дискуссии по парадоксам обратимости между Больцманом и Лошмидтом, а затем Цермело и Пуанкаре.

В ходе этих дискуссий Больцман подчеркивал, что "второй закон термодинамики никогда не удастся доказать математически на основе одних лишь уравнений движения" (цит. по [3, с. 158]). В своих лекциях по теории газов Больцман писал: "Так как у нас любят сейчас представлять время, когда наши воззрения на природу станут совершенно иными, мне хочется упомянуть, что основные уравнения движения для отдельных молекул могут оказаться лишь приближенными формами, дающими средние значения, которые вытекают, согласно исчислению вероятностей, из совместного действия очень большого количества отдельных движущихся частиц, составляющих окружающую среду …" (цит. по [3, с. 116-117]). Понимая, что эргодическая гипотеза неадекватна реальным процессам, и из обратимых уравнений классической физики необратимость получить невозможно, Больцман нашел достойнейшее для своего времени решение – он постулировал необратимость, введя в рассмотрение свое знаменитое кинетическое уравнение.

За прошедшее столетие ответы на вопросы о генезисе необратимости и возможной смене научной парадигмы, фактически поставленные Больцманом, не были найдены. Более того, Больцман, по-видимому, не был понят ни современниками, ни последующими исследователями, поскольку так "жестко" – о необходимости смены парадигмы, основанной на обратимых уравнениях динамики, после Больцмана вопрос никто не ставил. Предпринимаемые попытки вывода уравнения Больцмана из обратимых во времени уравнений классической динамики для подсистем, слабо взаимодействующих с термостатом, например, для классического разреженного газа [4], принципиально не могли привести к разрешению проблемы. В течение прошедшего столетия практически не подвергались сомнению и основные соотношения статистической механики равновесных систем, созданной современником Больцмана Гиббсом (1839-1903), хотя базовой основой этой науки является эргодическая гипотеза с использованием обратимых во времени уравнений динамики. Все же обсуждение проблемы "затухания Ландау" в равновесной бесстолкновительной плазме [5], а также недавние результаты по сопоставительному анализу равновесных термодинамических флуктуаций по Гиббсу и Эйнштейну [6] возвращают нас к проблеме необратимости и критическому переосмыслению подхода Гиббса.

Прежде чем продолжить обсуждение проблемы генезиса необратимости следует сделать одно общее утверждение, основанное на теоремах Гёделя [7, 8]. Согласно Гёделю (1906-1978), любая аксиоматизированная дедуктивная система является неполной, так что в ее рамках может быть сформулировано утверждение, истинность которого нельзя ни доказать, ни опровергнуть, и для получения заключения об этом утверждении необходимо выйти за пределы исходных аксиом. Современная наука, включая классическую динамику Ньютона и квантовую механику, строится именно дедуктивным образом и поэтому не может быть полной. Иначе: в современной науке могут возникнуть утверждения, справедливость которых нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Именно таковым, мы считаем, является утверждение о возможности последовательного вывода уравнения Больцмана из обратимых уравнений динамики. И именно Больцман первым интуитивно осознал, что вывести адекватные уравнения необратимой эволюции из базовых уравнений классической механики нельзя, что надо выйти за пределы исходной дедуктивной схемы с обратимыми относительно инверсии времени уравнениями движения. Но как, на каком основании это можно сделать? Надо ли отказаться от базисных постулатов теоретической физики, предусматривающих введение времени в уравнения эволюции как непрерывно и монотонно изменяющегося фактора? Или более адекватно следует определять системы и / или подсистемы, эволюцию которых мы изучаем?

Итак, от каких постулатов, лежащих в основе современной теоретической физики, надо отказаться? За пределы каких дедуктивных принципов надо выйти, чтобы понять генезис необратимости во времени эволюции реальных систем – "стрелы времени"? Как можно понять сущность Второго начала термодинамики?

О "стреле времени".

Очевидно, что понимание Второго начала термодинамики можно достичь лишь при выявлении природы необратимости на микроскопическом уровне, поскольку базисные уравнения классической физики и квантовой механики обратимы при инверсии времени, и никаких оснований думать иначе нет. В соответствии с [9, 10] мы связываем изначальное проявление необратимости с неизбежной нестационарностью структуры реальных систем вследствие структурной неравновесности абсолютно всех реальных конденсированных объектов, включая не только тела в условиях "термодинамического равновесия", но и сами "термостаты", равно как и "приборы", фиксирующие состояния квантовых подсистем, с нестационарностью расширяющейся Вселенной. Сказанное означает, что для осознания природы необратимости эволюции абсолютно всех реальных систем надо отказаться от существующих в теоретической физике образов "термостата" и "прибора" как абсолютных объектов с фиксированными и неизменными параметрами. В этом и будет состоять "выход" за пределы принятых парадигм.

Сказанное означает, что при анализе величин тепловых потоков между телами внутри термостата и самим термостатом последний следует рассматривать как динамическую систему, в которой в общем случае может реализовываться перераспределение структурной или упругой энергии с возможными локальными перестройками структурно-неравновесных фрагментов твердофазного материала, из которого термостат изготовлен [11]. При этом становится понятно, как появляется необратимость в динамике систем на микроскопическом уровне. Адекватные оценки возникающих тепловых потоков между изучаемым объектом и термостатом фактически сделать невозможно, прежде всего, из-за реальной неконтролируемости структуры термостата, а часто и самого объекта.

Можно утверждать, что существенное осложнение эволюции единой системы – анализируемого объекта и термостата заведомо исключает возможность обратимости эволюции данной системы в реальном времени вследствие возможных структурных перестроек матрицы термостата. Необходимость учета структурных перестроек в термостате в ходе эволюции системы в целом обусловливает практически неконтролируемый рост не только числа степеней свободы обобщенной динамической системы, но и существенное усложнение динамики отдельной обобщенной координаты вследствие увеличения числа воздействующих на ее эволюцию факторов. Эти обстоятельства существенно осложняют поиск адекватных выражений для оператора эволюции системы в целом, однако с очевидностью приводят к реальной необратимости даже на уровне отдельной траектории. Поэтому можно утверждать, что в ходе эволюции любой заданной подсистемы в термостате обратимость во времени a priori не может реализоваться, и эволюция должна осуществляться в соответствии со вторым началом термодинамики. Проводимые здесь рассуждения пока основывались на предположении, что рассматриваемый термостат идеально "держит" заданную температуру и обменивается тепловыми потоками только с находящейся в нем подсистемой. Очевидно, что это не так.

Любой реальный термостат следует считать взаимодействующим с внешними по отношению к нему системами, которые, стабилизируя его температуру, способствуют происходящим в его материале структурным перестройкам. Фактически каждый термостат оказывается "вложенным" в систему с большей суммарной энергоемкостью, тепловые потоки между такими термостатами в силу указанных факторов не эквивалентны, и никакой из рассматриваемых термостатов не может рассматриваться как идеальный. Достаточно указать, что идеальным термостатом не является даже Вселенная с реликтовым излучением, температура которого в переживаемый нами отрезок эволюции составляет около 2.7 К [12]. Все это не только усиливает реальную необратимость динамики произвольных диссипативных систем, но и фактически означает, что необратимость абсолютна. Такая логика приводит к решению проблемы "стрелы времени".

Проведенные выше рассуждения носят чисто умозрительный характер в силу практической сложности постановки экспериментальных исследований по динамике структурных перестроек в реальных твердофазных системах и измерению тепловых потоков между термостатом и находящимися в нем объектами. Что касается первой проблемы – исследования динамики структурных перестроек, то определенные перспективы в этом направлении могут быть связаны с использованием методик "многоточечных" измерений флуктуаций электрического потенциала в различных твердофазных объектах. Соответствующие эксперименты, выполненные в 70-х годах прошлого века Воссом и Кларком [13] для широкого класса твердофазных систем в отсутствии электрического тока, показали, что реализующиеся в таких системах флуктуации электрического потенциала проявляют "долговременную память" и формируют фликкер-шумовые зависимости спектров мощности, а не "белый шум", характерный для равновесных систем. Полученные в [13] результаты позволяют полагать, что наблюдаемая динамика флуктуаций электрического потенциала отражает динамику перераспределения структурной или упругой энергии в твердофазной матрице с возможными локальными перестройками ее структурно-неравновесных фрагментов, происходящую в отсутствие иных сторонних воздействий, нежели температура окружающей среды. Если это заключение будет подтверждено прямыми исследованиями структурных перестроек в твердофазных системах в условиях постоянства внешней температуры, когда чисто равновесные флуктуации должны продуцировать лишь "белый шум", то фликкер-шум в таких системах может рассматриваться как индикатор "стрелы времени" [9, 10].

Конечно, наблюдать предполагаемые структурные перестройки в реальных твердофазных системах достаточно сложно. Однако можно указать случаи, когда постановка таких экспериментов вполне реальна. В работе [10] указывается, что соответствующие эксперименты по измерению флуктуаций потенциала с одновременной фиксацией изменений структуры можно провести, используя образцы серого и белого олова, α-Sn и β-Sn модификации, помещенные в термостат при температуре вблизи аллотопных перестроек структуры, происходящих при T_K = +13.2⁰С. Особый интерес представляло бы измерение тепловых потоков между рассматриваемыми подсистемами – образцами олова и стенками термостата в условиях задаваемого стандартным образом постоянства температуры.

Итак, для осознания природы абсолютной необратимости эволюции реальных систем необходимо отказаться от образа "стационарного" мира, представляемого "термостатом" и "прибором", то есть базовыми понятиями статистической механики Гиббса и квантовой механики. Конечно, для решения многих задач вполне обосновано использование представлений об "идеальном термостате" и / или не изменяющем свои параметры "приборе". Но при этом анализируются достаточно простые случаи, которые могут адекватно моделироваться системами дифференциальных уравнений, преимущественно, линейных. Реальные природные процессы, происходящие в открытых диссипативных системах, будучи многофакторными, характеризуются сложным хаотическим поведением измеряемых динамических переменных. А проблема, как правило, состоит в том, чтобы из измеряемых хаотических сигналов извлечь информацию о состоянии и динамике такой системы, прогнозировать ее возможное поведение. Существующие попытки решения таких проблем в рамках парадигмы детерминированного хаоса [14, 15] с введением "решабельных" на современных компьютерах систем обыкновенных дифференциальных уравнений демонстрируют весьма ограниченные возможности. Если бы мы могли записать некое обобщенное интегро-дифференциальное уравнение, адекватно представляющее необратимую эволюцию рассматриваемой системы с учетом всего многообразия существующих взаимосвязей с "термостатом" или "прибором", и умели каким-то образом решать такое уравнение, то проблем со сменой парадигмы при использовании образа непрерывно изменяющегося времени не возникало бы. Однако такая возможность заведомо исключена, в том числе, в силу неконтролируемости структуры реальных "термостата" или "прибора" на всех пространственных уровнях их организации.

Как же в таком случае следует моделировать природные процессы? Как анализировать и извлекать информацию при исследовании сложных многофакторных явлений? Принципиальную возможность подхода к таким проблемам продемонстрировали Восс и Кларк [13], показав, как, в принципе, можно контролировать состояние произвольных твердофазных систем, в том числе, "термостата" или "прибора". Конечно, один извлекаемый параметр, описывающий фликкер-шумовую зависимость для измеряемых флуктуаций шумовых сигналов, не может адекватно характеризовать состояние и эволюцию твердофазной матрицы. Нужна методология анализа сложных сигналов, нужны алгоритмы, позволяющие получать столько информационных параметров о состоянии системы, сколько их надо для решения каждой из конкретных задач. Как разработать такие алгоритмы? Как войдет время в соответствующую методологию? Для решения этих вопросов обратимся к одному из давно введенных в философию образов.

Образ "теперь – Now".

Обсудим вначале мысленный эксперимент. Допустим, мы исследуем процесс кристаллизации соли, выпадающей из ее пересыщенного раствора на поверхность, и следим, используя оптический микроскоп с фиксированным увеличением, за изменением формы некоторого фрагмента поверхности кристаллизующейся соли. Очевидно, что мы можем фиксировать лишь некоторые скачкообразные изменения формы – образование новых "микронаростов" на данном фрагменте, происходящее через характерное время Δt, зависящее от увеличения микроскопа. Действительно, легко связать такие изменения формы с возникновением локальных пересыщений солевого раствора над поверхностью фрагмента и последующими фазовыми переходами с образованием новых микрокристаллитов на данной поверхности. При этом каждый из образующихся микрокристаллитов не фиксируется используемым микроскопом из-за малости своих размеров: микроскоп фиксирует лишь образование достаточно крупных конгломератов таких микрокристаллитов, формирующих "микронаросты". Очевидно также, что при бóльших увеличениях микроскопа должны фиксироваться менее значительные изменения формы поверхностных фрагментов, происходящие за меньшие характерные времена Δt.

Рассмотренный мысленный эксперимент отражает важный принципиальный момент в эволюции сложных открытых систем – возможность фазовых превращений, происходящих в данном случае на малых пространственно-временных масштабах. Для моделирования такого типа эволюционного процесса на всех характерных временах наблюдения заведомо нельзя использовать дифференциальные уравнения с непрерывно изменяющимся временем, поскольку "на малых временах" особенности динамики процесса кристаллизации заведомо отличаются от закономерностей изменений профиля поверхности выпадающей соли, фиксируемых с помощью микроскопа. При этом, как указывалось выше, мы должны сразу исключить возможность введения гипотетических систем интегро-дифференциальных уравнений, адекватно представляющих рассматриваемую эволюцию на всех возможных временах, при которой можно было бы использовать некое единое непрерывно изменяющееся время. В этом случае более естественно выглядит введение совокупности малых временных интервалов, на каждом из которых система необратимо претерпевает вполне определенные, но различимые перестройки структуры.

Обращение к таким временным интервалам приводит нас, фактически, к классическому образу "теперь – Now", вводимому при обсуждении проблемы времени еще Аристотелем (384/383 – 322/321 до Р.Х.) для обозначения "крайнего предела прошедшего, за которым нет еще будущего, и обратно, предела будущего, за которым нет уже прошедшего" (цит. по [16], с. 120). Хотя сам образ "теперь – Now" имел у Аристотеля нулевую длительность и рассматривался как граница времени, через которую осуществляется непрерывная связь между прошлым и будущим, рассмотрению определенных отрезков времени при анализе проблемы времени Стагирит придавал большое значение: " … если мы будем у ограниченного промежутка времени постоянно отнимать <новые и новые > части времени, мы дойдем до настоящего момента" [17, с. 162]. Идея введения дискретных интервалов времени с иерархией масштабов была далее развита Аврелием Августином. Но, по-видимому, первым, кто пришел к мысли о необходимости введения конечности интервала "теперь – Now" при анализе проблемы времени, был Локк (1632 – 1704). Правда, Локк обсуждал "смежную" проблему, а именно рассматривал "информационную" границу двух смежных конечных интервалов ""теперь- Now", то есть "ту часть длительности, которая соответствует одной из сменяющихся в уме идей, определяя ее как "миг" или "мгновение" (цит. по [18, с. 89]). При этом представление о времени он связывал с последовательностью запечатлевшихся идей, "актуализацией" таких "мигов", как в популярной песне выразил поэт Н. Дербенев ("Есть только миг между прошлым и будущим, именно он называется жизнь…"). В связи с историческим экскурсом отметим также, что Лейбниц (1646 – 1716), возражая Локку и следуя Аристотелю, видел в образе "теперь – Now" не временной интервал, а точечную по времени границу между прошлым и будущим.

Надо сказать, что прошедшие после Локка и Лейбница три века не внесли большей определенности в понятие "теперь – Now" [19]. Показательна в этом смысле дискуссия между Эйнштейном и Карнапом, фрагменты которой приводит Карнап: "Эйнштейн как-то заметил, что его серьезно беспокоит проблема "теперь – Now". Он пояснил, что ощущение настоящего, "теперь", означает для человека нечто существенно отличное от прошлого и будущего, но это важное отличие не возникает и не может возникнуть в физике. Признание о том, что наука бессильна познать это ощущение, было для Эйнштейна болезненным, но неизбежным. Я заметил, что все происходящее объективно может быть описано наукой… Эйнштейн, по-видимому, считал, что научные описания не могут удовлетворить наши человеческие потребности и что с "теперь – Now" связано нечто существенное, лежащее за пределами науки" (цит. по [2, с. 189]).

Тем не менее мы покажем, что именно введение образа "теперь- Now" в науку позволяет продвинуться в разрешении обсуждаемых вопросов о введении необратимости в представлении эволюции реальных систем. Принципиальный шаг в этом направлении был сделан Вайцзеккером в его "Триест-теории" [20]. Согласно Вайцзеккеру, сам факт актуализации явления (если это даже смена идей в нашем сознании) происходит вследствие необратимых переходов в новое состояние системы. Тем самым само представление эволюции по Вайцзеккеру должно включать в себя реализующиеся дискретные последовательности необратимых "шагов-событий" или интервалов "теперь – Now", сопрягающихся "мигами" Локка. При этом генезис возникновения необратимости не обсуждается. Необратимость вводится a priori как фиксация определенного скачка – изменения состояния эволюционирующей системы. Ключевым понятием в таком образе эволюции является интервал времени, ограниченный двумя "событиями-мигами", а не моменты времени на непрерывной временной оси, как это имеет место в традиционной науке. Очевидно, что вводимые интервалы не должны быть "пустыми", но содержать внутри себя интервалы меньших масштабов, всю иерархию возможных временных интервалов.

Именно такие представления об эволюции с введением реальной необратимости относительно времени на каждом "временном" шаге были использованы при разработке фликкер-шумовой спектроскопии (Flicker-Noise Spectroscopy – FNS) [21-23], феноменологического метода анализа информации, содержащейся в хаотических временных и пространственных рядах, характеризующих соответственно эволюцию и структурную организацию открытых диссипативных систем разной сущности. Именно FNS методология открывает возможности разработки алгоритмов извлечения информации из сложных сигналов в требуемом количестве, о чем упоминалось выше.

Принципы фликкер-шумовой спектроскопии.

Низкочастотный фликкер-шум (или 1/f-шум) – один из удивительных феноменов Природы. Он впервые был зафиксирован в 1925 г. как эффект медленных флуктуации (мерцаний) эмиссионной способности катодов электронных ламп и вызванных этими мерцаниями флуктуации тока лампы. Последующие исследования показали неизбежность его проявления при прохождении электрического тока в различных материалах (металлических пленках, полупроводниках) и приборах электронной техники, при химических превращениях в конденсированной фазе, геофизических и астрофизических явлениях, в последовательности нуклеотидов в наследственных структурах и др. [14, 24]. Обычно анализируется спектр мощности S(f) (f – частота) динамической переменной V(t) (t – время), представляемой в виде временного ряда. Для фликкер-шума характерно возрастание S(f) в пределе малых частот: S(f) ~ f ^-n , где n ~ 1. При этом V(t) может иметь разнообразный смысл: измеряемый параметр физических объектов; скорость химических превращений в конденсированной фазе; изменения интенсивности электромагнитных или акустических сигналов, напряженности магнитного поля вблизи выделенного участка поверхности Солнца, интенсивности солнечного ветра, светимости сейфертовских галактик; вариации показателей деятельности сердечной мышцы, других биоритмов, стоков рек, сейсмической или вулканической активности, численности популяций в экосистемах, индекса цен на бирже, интенсивности движения городского транспорта, муниципальных или федеральных бюджетов; скорость изменения прожиточного минимума и показателей общественного мнения, и т.п.

Именно общий феноменологический взгляд на процессы эволюции положен в основу FNS подхода к анализу динамики произвольных сложных нелинейных систем с целью извлечения информации, содержащейся в хаотических сигналах разной сущности – временных рядах, пространственных сериях и картах, сложных энергетических спектрах. Сущность FNS метода состоит в придании информационной значимости последовательностям различных нерегулярностей (всплески, скачки, изломы производных различных порядков) динамических переменных исследуемых систем. Эта идея соответствует основному выводу, полученному в рамках парадигмы "самоорганизованной критичности" (Self-Organized Criticality, SOC) [24] на основе многочисленных модельных компьютерных расчетов. В качестве базовой модельной задачи SOC рассматривалась динамика формирования лавин в куче песка при наличии постоянно действующего внешнего фактора (например, потока песка, падающего на вершину кучи), когда потоки лавин разных масштабов скатывались по склону такой кучи. Было показано, что главная особенность динамики лавин состоит в прерывистом, перемежаемом по всевозможным масштабам (числам песчинок в лавине) характере скатывающихся лавин, определяющем степенные зависимости функций распределения числа песчинок в лавине. Именно на этой основе, при реализации существенно нерегулярного, "недарвиновского" характера эволюции были поняты хорошо известные масштабно инвариантные (скейлинговые) зависимости законов Гутенберга-Рихтера и Ципфа-Парето, перестал быть загадкой фликкер-шум. Было выяснено, что внутренние источники формирования таких степенных законов, отражающих существование протяженных в пространстве и длительных во времени ("бесконечных" – для фликкер-шума) корреляций в исследуемых системах при внешней хаотичности эволюции или образующихся в ее ходе структур, связаны с реализацией в них сложных ("многочастичных", нелинейных) взаимодействий, диссипацией и инерцией. Интересно заметить, что на первые два фактора как на условие формирования единой развивающейся системы в сложном конгломерате подсистем указывал почти двадцать четыре века назад Аристотель [17, с. 224], которому еще не была известна инерция. Фактор многочастичности выступал у Стагирита как "соприкосновение", роль диссипации отводилась "липкости".

Новые аргументы в пользу гипотезы об информационной значимости фактора нерегулярности в поведении динамических переменных при анализе временной эволюции сложных систем или при описании формирующихся при такой эволюции структур были привнесены успехами вейвлет-анализа – разложения исследуемого сигнала по полной системе локализованных солитон-подобных функций [25] с сохранением лишь малой доли (порядка 5%) наибольших коэффициентов, что отвечает учету лишь тех областей изменения аргумента (в данном случае – времени t), где анализируемый сигнал V(t) изменяется наиболее резко. Именно в таком отбрасывании "несущественной информации" состоит причина успешного применения вейвлет-анализа для декорирования размытых изображений, для эффективной упаковки наиболее важной информации.

Для представления базовых соотношений FNS подхода прежде всего введем представления об иерархии пространственно-временных уровней организации рассматриваемых произвольных динамических диссипативных систем и будем полагать, что эволюционные зависимости V(t) динамических переменных, задаваемые на временном интервале T, являются существенно нерегулярными на каждом i-ом уровне иерархической организации системы. Такой характер эволюции предполагает, что не все интервалы на временной оси информационно эквивалентны (в согласии со сделанным заключением при установлении информационной значимости вейвлет-анализа). Зафиксируем некий i-ый пространственно-временной уровень иерархии системы и выделим на соответствующей временной оси небольшие интервалы (d -интервалы), содержащие основную информацию о структурно-энергетическом состоянии рассматриваемого уровня иерархии системы, что соответствует определенной степени увеличения в выше описанном мысленном эксперименте. При этом промежутки между выделенными d -интервалами считаем тоже информативными, содержащими последовательности меньших d -интервалов, информационно значимых для более мелких уровней иерархической организации системы. Такое выделение все более мелких информационно значащих интервалов должно быть продолжено. Внутри вводимых для каждого i-ого уровня иерархии последовательностей d -интервалов динамические переменные в общем случае оказываются связанными корреляционными соотношениями различного типа, несущими информацию о динамике рассматриваемой системы.

Согласно SOC парадигме, мы постулируем наиболее общий вид эволюции динамической переменной V(t) для i-го пространственно-временного уровня в форме перемежаемости (intermittency). Такая эволюция характеризуется (см. рисунок) относительно слабыми изменениями переменной на относительно протяженных временных интервалах – "ламинарных фазах" с характерными длительностями T₀ⁱ и резкими прерываниями такой эволюции короткими всплесками длительности τ₀ⁱ (τ₀ⁱ << T₀ⁱ).

Рис. 1. Схема эволюционной динамики сложной системы, отвечающая изменению динамической переменной на одном уровне пространственно-временной иерархии.

Заметим, что при всплесках происходят скачкообразные изменения значений динамической переменной на последующем "ламинарном" участке, сопровождающиеся разрывами производных. Такие скачки и разрывы производных мы будем относить к первому типу скачков и разрывов производных, полагая, что для переменной V(t) могут быть характерны резкие, на коротких интервалах τ₁ⁱ скачкообразные изменения "ламинарного" фона, как это представлено на рисунке. Для характерных интервалов времени между такими резкими скачками (их будем относить к скачкам второго типа) введем обозначение T₁ⁱ (полагаем, τ₁ⁱ << T₁ⁱ). Тем самым мы постулируем, что вся основная информация об эволюционном процессе для i-го иерархического уровня содержится лишь в указанных всплесках, скачках и разрывах производных вводимого сигнала. Все эти нерегулярности и рассматриваются в качестве основных и единственных "маркеров" эволюционного процесса.

То обстоятельство, что значимыми (с точки зрения получения информации о системе) являются не все точки на временной оси, а лишь точки "маркеров-нерегулярностей", характеризующиеся полным набором возможных нерегулярностей, придает рассматриваемым эволюционным процессам своего рода "полихромизм" – цветовую гамму по типам нерегулярностей. Это тем более важно, что информация о всплесках и скачках получается из анализа разных зависимостей – частотных спектров автокорреляторов и разностных моментов различных порядков. "Полихромизму" эволюционных изменений динамической переменной V(t), в принципе, можно поставить в соответствие термин "топохронология", введенный Д. Бомом (см. [26]). Выбор такого термина подчеркивает, что наряду с пространственной топологией, характеризующей определенный порядок в расположении объектов относительно друг друга, следует различать, как одно событие или момент времени проявляют себя физически в другом. Другими словами, понятие "топохронология" отражает возможность существования определенных соотношений, в частности, степени коррелированности ("сохранения памяти") между структурно-энергетическими состояниями (их многообразие задается вводимыми параметрами) эволюционирующей системы не только в соседние моменты времени, но на различных временных интервалах. Можно также подчеркнуть, что "топологическое понимание времени (в отличие от метрического) подразумевает последовательность не одинаковых моментов времени, а разнокачественных (разнородных) интервалов и их содержательную иерархию" [27], на что обращалось внимание выше в связи с мысленным экспериментом по динамике кристаллизации.

Переходы системы из одного информационно содержательного d -интервала на i-ом уровне иерархии в смежный (при этом система оказывается уже в другом структурно-энергетическом состоянии, отличном от предыдущего), отражаемые в изменении значения динамической переменной V(t), фиксируются моментом фактуализации необратимости при таких переходах – в соответствии с представленной выше "Триест-теорией" К.Ф. фон Вайзеккера. Иначе: именно в последовательности информационно значимых интервалов уже реализована необратимость рассматриваемого эволюционного процесса. Конечно, генезис необратимости здесь не выявляется, и необратимость просто постулируется. При этом "неинформативные" промежутки между d -интервалами, в которых необратимость еще не стала фактом, связываются с вводимым представлением "теперь – Now" как фактором, объединяющем прошлое, которое уже совершилось, и будущее, которое пока потенциально возможно.

Для того, чтобы "материализовать" эти физические идеи и разработать на их основе методологию анализа временных рядов, необходимо идеализировать введенный образ и стянуть все информационно значимые d -интервалы, принадлежащие различным i-ым пространственно-временным уровням, в точки. При этом каждая такая точка – "миг" должна быть носителем информации о структурно-энергетическом состоянии системы в этот момент времени, т.е. выступать как "маркер" нерегулярностей разного типа для рассматриваемой системы. Нулевая длительность каждого "мига" означает, что значение исследуемой функции в каждой из таких точек с необходимостью должно содержать сингулярность (актуальную или потенциальную) в этой точке, т.е. представляться в виде суммы обобщенной функции с нулевым носителем (выражаются в виде суммы по d -функциям Дирака и их производным) и функций с разного типа разрывами: скачкообразных θ-функций Хевисайда и функций с разрывом производной 1-го, 2-го и более высоких порядков. Здесь следует также указать, что математический аппарат, позволяющий работать с сингулярными функциями, хорошо известен. Это теория обобщенных функций.

Далее задача состояла в том, чтобы на основе описанного идеализированного образа эволюции вывести необходимые для феноменологического анализа соотношения – спектр мощности S(f):

, (1)

и разностные моменты ("структурные функции") F ^(p)(t ) порядка p (p = 1, 2, 3, …):

, (2)

где t – параметр временной задержки. Для учета вклада в эволюционную динамику всей совокупности уровней иерархии рассматриваемых систем в стационарном состоянии принималась гипотеза масштабной инвариантности, означающая, что подобная эволюция имеет место и во временной области, обведенной штрих-пунктиром на рисунке. Другими словами, полагалось, что общий вид временной эволюции с указанными всплесками и скачками динамической переменной сохраняется для каждого из пространственно-временных масштабов рассматриваемой эволюции. Полученные для S(f) и F ^(p)(t ) общие и интерполяционные соотношения, на основе которых может проводиться анализ произвольных сигналов и извлекаться необходимая информация, приведены в [21-23]. При этом зависимости, характеризующие разностные моменты, формируются исключительно скачками, а в формирование спектров мощности вносят вклад всплески и скачки динамической переменной. Извлекаемые таким образом информационные "паспортные данные" системы имеют смысл времен корреляции и характеристик потери "памяти" (корреляционных связей) на этих временах корреляции – для нерегулярностей типа "всплесков" и "скачков". В ряде случаев наряду с "паспортными параметрами" удобно вводить "паспортные паттерны" – специфические информационные "клише", формируемые на основе спектров мощности и переходных разностных моментов анализируемых хаотических рядов. Соответствующие характеристики для нерегулярностей типа "разрывов производных" извлекаются из спектров мощностей и разностных моментов, построенных на основе "квазипроизводных" исходного сигнала. Принятие нерегулярностей динамических переменных в качестве информационной основы FNS методологии позволило не только в наиболее общей феноменологической форме классифицировать всю содержащуюся в хаотических сериях информацию, но и различимо извлекать необходимую ее часть.

Здесь следует указать, что традиционно существующее мнение о тождественности информации, представляемой F ⁽²⁾(t ) и S(f), справедливо только для достаточно "гладких" функций, каковыми реальные сигналы V(t) не являются. Именно FNS методология, ориентированная на придание информационной сущности последовательностям нерегулярностей, скрытых в реальных сигналах, разрешает указанное кажущееся информационное несоответствие и "расцепляет" информацию, заключенную в зависимостях F ⁽²⁾(t ) и S(f), по различимым признакам – различным типам нерегулярностей, "цветам информации". При этом интервал усреднения T выступает в качестве "активного" параметра, и его вариации позволяют, в частности, выявлять некоторые факторы, характеризующие нестационарность реальных процессов.

Вся выявляемая в методе FNS "паспортная информация" естественным образом формирует единый информационный блок (совокупность параметров, размерных и безразмерных), определяемый нами как "информация динамических различий" (Information of Dynamic Distinguishes – I_DD). Фактически при этом речь идет о многопараметрическом обобщении K-энтропии Колмогорова [14] – скорости потери информации, которая в теории детерминированного хаоса вводится как скаляр. Заметим еще, что используемая в FNS методологии логика введения "различимых признаков", информация о которых различимым образом может извлекаться из зависимостей S(f) и F ^(p)(t ), вычисляемых на основе экспериментально измеряемых хаотических серий, и в силу этого составляет основу эмпирического знания о системе, в полной мере соответствует основным принципам "абстрактной теории информации" [28].

"Вещь в себе" Канта

Очевидно, что представленный на рисунке сигнал не соответствует никакому реальному сигналу не только вследствие того, что в любой реальный процесс вносят вклад все уровни пространственно-временной иерархии реальной системы. На абстрактный характер приведенного образа указывает также выбор "идеальных" нерегулярностей – d -функций Дирака, θ-функций Хевисайда, разрывов производных в качестве информационных реперов сигналов. На абстрактный характер таких реперов указывает то обстоятельство, что любые резкие нерегулярности неизбежно будут "размываться" из-за инерционности материальных объектов и ограничений, связанных с самим процессом измерения (инерционность приборов, систематические приборные ошибки и т.д.). Фактически мы имеем ситуацию, описанную Платоном [29, с. 255-258], когда по наблюдению теней на стене пещеры наблюдатель должен делать заключения о сущности предметов, от которых эти тени отбрасываются. Платоновский образ оказывается универсальным и всеобщим для построения любой научной конструкции, которая должна (вынуждена!) исходить из идеальных образов, отражающих основную сущность анализируемого явления, структуры. С использованием этих идеальных образов (укажем еще: материальная точка, инерциальная система отсчета), которые не берутся непосредственно из эксперимента, и формируется основа любой естественной науки, ее дедуктивные принципы, из которых выводится все содержание этой науки. Здесь мы подчеркиваем, что эти принципы не могут быть получены путем индуктивного обобщения опытных данных. Они всегда – результат догадки и интуиции, навеянных экспериментом. Именно в качестве такой дедуктивной основы для науки о динамике сложных систем мы и рассматриваем представленный на рисунке образ эволюции.

В философии во все времена, начиная с античных, вводились представления о сущности объектов, помогающие лучше понять и представить внутреннюю сущность Природы. Классические примеры – образ атома как неделимой сущности, "теней Платона" и "теперь – Now", "вещи в себе" Канта. Новые эпохи привносили новое понимание в классические образы, что прежде всего демонстрирует пример образа атома, который уже давно стал "делимым". Другие вводимые на разных этапах в философию образы также наполняются новым содержанием и, по-видимому, могут более активно (прагматически) использоваться в естественных науках. Именно при таком тесном взаимодействии философии с естественными науками можно говорить о формировании будущей единой (прежде всего, по использованию общей методологии [30]) науки "от физики до психологии" [31, с.70], "о совокуплении ее (науки) в цельное крепкое ядро" [32, с. 5]. Выше мы продемонстрировали, как на науку может "работать" образ "теперь – Now". Конечно, в этот образ привнесено некое новое содержание по сравнению с образом Аристотеля-Локка, но сохранение данного определения подчеркивает связь времен, сохраняет традицию: определение "атом" сохранилось же, несмотря на кардинальное изменение первоначального представления об этом объекте! Высказываемые здесь соображения подчинены главной мысли – придать прагматический, работающий смысл образу "вещи в себе", введенному Кантом, и связать представленную на рисунке идеализированную схему эволюции системы на одном уровне пространственно-временной ее организации с "вещью в себе" Канта. Как отмечалось выше, введенный образ – чисто метафизический по своей сущности: он результат догадки и, в принципе, не может быть получен из экспериментальных данных, поскольку отражает эволюцию только на одном из формирующих реальный сигнал уровне иерархической организации системы. Конечно, введенный образ не есть результат только чувственного созерцания, но возникает как следствие чистых собственных размышлений над результатами разнообразных экспериментальных данных, многочисленных дискуссий с коллегами. Тем самым этот образ "хотя берется и из опыта, однако независим от опыта" [31, с.37]. Тем самым этот образ не выпадает "из обоймы" кантовских образов a priori, отражая, по мнению автора, самое существенное, что характерно для эволюции открытых диссипативных систем. Более того, он становится конкретным базовым образом для создания на его основе рабочего инструмента для получения информации о состоянии и динамике сложных природных или модельных систем.

При введении образа "вещи в себе" Кант прежде всего имел в виду, что для познающего разума "истинная сущность природы (вещь в себе)" остается недостижимой [33, с.119] и "вещи в себе теоретическому познанию недоступны" [34, с. 148]. При буквальном понимании недостижимости "вещи в себе" возникают недоумения в полезности такого образа для научного поиска. Более естественно расширить понятие этих образов в рамках основной идеи Канта и рассматривать чисто метафизические понятия "теперь – Now", "вещь в себе", как работающие на "чистое естествознание". Именно поэтому мы усиливаем удельный вес предварительного анализа опытных данных (Кант это вполне допускает!) как непременной составляющей при формировании этих образов, демонстрируя их прагматическую ценность как необходимых априорных понятий при разработке ориентированного на практические задачи метода анализа сложных сигналов.

Об индивидуальности всякой эволюции.

С точки зрения динамики флуктуаций в рамках FNS подхода и представленной на рисунке схемы нет принципиальной разницы между равновесными и стационарными неравновесными системами, хотя в последнем случае через систему проходят результирующие массовые и энергетические потоки. Полагается, что каждая из рассматриваемых систем, в том числе равновесных, имеет свою индивидуальную эволюцию. Информация о такой динамике извлекается из анализа зависимостей S(f) и F ^(p)(t ), получаемых при статистическом усреднении по временному интервалу T конечной длительности. Фактически речь идет об отказе от подхода Гиббса с рассмотрением статистики ансамблей при постулировании эргодической гипотезы и принятии подхода Эйнштейна к анализу динамики флуктуаций. В подходе Эйнштейна "выравнивается" статус экстенсивных (объем, энергия) и интенсивных (давление, температура) величин, характеризующих подход Гиббса, с приданием им обеим смысла случайных термодинамических переменных [6]. В отличие от подхода Гиббса в подходе Эйнштейна, учитывая обобщение этого подхода Климонтовичем, который ввел в рассмотрение возможность флуктуации температуры на границе системы с термостатом [5], не требуется точного совпадения интенсивных термодинамических параметров макросистемы и термостата. При этом термостат проявляет себя как активная система, поддерживая флуктуационные режимы в объеме граничащих с ним систем. Поэтому в системе даже в условиях термодинамического равновесия вследствие неизбежных проявлений локальной неустойчивости в области флуктуаций должны реализоваться как диссипативные процессы (например, "поглощение мощности" при "затухании" Ландау в "бесстолкновительной" плазме), так и процессы "выделения мощности". В этом и состоит специфика подхода Эйнштейна-Климонтовича к анализу динамики флуктуаций в равновесной системе. Каждая из равновесных систем реализует свою единственную и неповторимую эволюцию. Хотя интегрально, в среднем, тепловые (энергетические) потоки между системой и термостатом эквивалентны, соответствующие локальные потоки могут заметно различаться. Указанные различия обоих подходов, как известно, приводят к разным физическим результатам, в частности, к различным выражениям для дисперсии интенсивных термодинамических величин [6].

Развитые представления о динамике флуктуаций в стационарных системах и информационной значимости хаотических сигналов позволяют рассматривать получаемые в рамках FNS методологии зависимости для S(f) и F ^(p)(t ) как обобщение флуктуационно-диссипационных соотношений, связывающих флуктуационные характеристики интенсивных параметров системы с характеристиками, определяющими необратимо протекающие релаксационные процессы в этой системе. При этом в отличие от традиционных соотношений такого типа, основанных на подходе Гиббса и определяющих взаимосвязь флуктуационных характеристик системы в условиях термодинамического равновесия с параметрами линейной релаксации, FNS подход открывает возможности анализа указанных соотношений и в сильно неравновесных системах (полностью развитая турбулентность, фликкер-шум и др.). Проведенные к настоящему времени исследования показывают, что FNS метод может быть использован для решения трех типов проблем: для определения параметров, характеризующих динамику или особенности структурной организации открытых сложных (физико-химических, природных) систем; выявления предвестников наиболее резких изменений в состоянии открытых диссипативных систем разной сущности на основе априорной информации о динамике этих систем; установления динамики перераспределения возбуждений в распределенных системах на основе анализа динамических корреляций сигналов, измеряемых одновременно в пространственно разнесенных точках.

Заключительные замечания.

Проведенный анализ показал, что введение интервалов "теперь – Now", соответствующих необратимым эволюционным "перескокам" системы на различных пространственно-временных уровнях иерархии этой системы, носит чисто субъективный характер и обусловлено различиями в особенностях эволюции на разных иерархических уровнях, то есть внутренней нестационарностью рассматриваемого процесса. Вспомним описанный выше мысленный эксперимент по кристаллизации системы из пересыщенного раствора и представим гипотетическую ситуацию. Как уже отмечалось, если бы можно было ввести некое обобщенное интегро-дифференциальное уравнение, адекватно представляющее в данном случае необратимую эволюцию исходной системы пересыщенный солевой раствор-подложка, и это уравнение можно было разрешить, то нам не надо было бы вводить интервалы "теперь – Now", а использовать при таком моделировании образ непрерывно изменяющегося времени. Поскольку таких гипотетических уравнений, адекватно описывающих эволюцию реальных систем, не существует, то вполне оправданными выглядят попытки модельного представления динамики сложных систем с введением дискретного во времени характера эволюции, с использованием образов фракталов ("диффузия по фракталам" [35, 36]), а также уравнений с дробными производными и дробным интегралом Римана-Лиувилля [37-39]. При этом FNS методология и вводимая на ее основе параметризация могут стать феноменологической основой для построения соответствующих модельных уравнений.

В связи с введением времени при рассмотрении эволюционной динамики квантовых подсистем и окружающей среды ("прибора") сделаем небольшое замечание. Специфика квантовых явлений состоит в специфике самого квантового объекта – возмущения пространства, окружающего микроскопическую частицу, с которым связывается образ волны де Бройля. Последнее означает, что при локализации микрочастицы в какой-то области пространства (в "ящике" фиксированного размера, при образовании атома водорода с локализацией электрона у протона) указанное "возмущение" также "должно уместиться" в этом объеме, каким-то образом исказившись. Именно в этом можно видеть генезис "активности" пространственной координаты, которой в квантовой механике ставится в соответствие оператор. Никакой дискретизации по времени здесь нет, время может изменяться непрерывно. Поэтому оператор времени в квантовой механике объективно не вводится.

В связи с открытием энергонасыщенного вакуума, определяемого как "квинтэссенция" или "темная энергия", который проявляет себя не только при анализе астрофизических феноменов, но и лабораторных экспериментах по измерению силы Казимира [10, 21, 40-44], наиболее естественно связывать волну де Бройля с поляризацией прилегающей к микрочастице области энергонасыщенного вакуума (по крайней мере, его электромагнитной компоненты) и формированием своего рода квазичастицы – "вакуумного полярона". Принятие такого образа позволяет понять на качественном уровне генезис априорного ограничения скорости движущихся материальных объектов с ненулевой массой покоя величиной скорости c света в физическом вакууме, равной c = 3·10¹⁰см/с [10]. Такое ограничение связано с ограниченностью скорости перестройки физического вакуума, прилегающего к движущемуся объекту, связанной с перемещением данного объекта и ограниченной величиной c. Конечно, введение такого динамического образа микрочастицы с перестраиваемой поляронной шубой должно привести к серьезной модификации существующего аппарата. Достаточно только задуматься над проблемой квантово-динамического описания процесса туннелирования такого композитного объекта через потенциальный барьер. Но здесь мы обсуждаем другую проблему, связанную с введением времени при рассмотрении процессов в области атомно-молекулярных масштабов. Субъективный образ непрерывно изменяющегося времени в этом случае также мог бы использоваться при существовании необратимых во времени гипотетических уравнений, адекватно представляющих эволюционную динамику квантовых подсистем и окружающей среды ("прибора"). К сожалению, таких перспектив нет, и при феноменологическом анализе динамики "прибора" в квантовой механике, определяемой сложной эволюцией структурно-неравновесных фрагментов окружающих квантовую подсистему "классических" подсистем [9, 10], вполне адекватным представляется использование FNS подхода.

При уменьшении пространственно-временных масштабов исследуемых систем качественные изменения в использовании образа времени можно ожидать лишь на масштабах ожидаемой дискретизации самого пространства-времени, которые вводятся при построении квантовой теории гравитации [45] и связываются с характерными планковскими величинами. Напомним (см., например, [46]), что указанные величины - характерные единицы длины l_P1, времени t_P1, массы m_P1 и плотности r _P1 были введены Планком в 1899 г. комбинированием трех фундаментальных физических постоянных , c и G , где – постоянная Планка и G – гравитационная постоянная. Планковские величины (за исключением "планковской" массы, m_P1 » 2.2× 10^-5г) традиционно воспринимаются как некие пределы принципиальной недостижимости соответствующих величин в экспериментах (любых и во все времена). Так, для тестирования материи (протонов) на планковских масштабах длины необходимы ускорители заряженных частиц с характерными размерами, превышающими размер Солнечной системы. Для того, чтобы образ недостижимости сохранить для всей четверки планковских чисел, в [46] "планковская" масса m_P1 была заменена на планковскую мощность w_P1, а также для единообразия всей совокупности вместо планковской плотности r _P1 была введена величина планковской плотности энергии s _P1:

(3)

Именно с искажениями геометрии пространства-времени на планковских масштабах l_P1 и t_P1 современные теории связывают феномен гравитации [45], тогда как параметры s _P1 и w_P1 могут определять свойства пространства-времени на космологических масштабах [46].

Поскольку параметры l_P1 и t_P1 на равных основаниях определяют пространственно-временные ячейки нашего мира, своего рода "атомы пространства-времени" [45], форма которых динамически изменяется под воздействием инерциальной массы или электромагнитного поля, то время и координата должны входить в будущую квантовую теории гравитации на паритетной основе, то есть как операторы. Поэтому именно на планковских масштабах должен исчезнуть субъективный образ времени, вводимый в физические модели. Напомним, что с аналогичной ситуацией мы сталкиваемся при переходе от макро-масштабов классической физики к атомным масштабам квантовой механики, когда субъективно вводимый образ пространственной координаты трансформируется в оператор. Возможно, именно при введении времени как оператора на планковских масштабах откроется сущность и ограниченность вводимых в современную теорию представлений о пространственно-временной симметрии сильных и электрослабых взаимодействий – их инвариантность относительно комбинаций С (зарядовое сопряжение), Р (пространственное отражение) и Т (отражение во времени) преобразований [47], а одновременный учет всей совокупности планковских чисел поможет осознать "равноправие" (скорее, пределы такого равноправия) всех координат в 4-мерном пространстве-времени Минковского, равно как и сущность требования релятивистской инвариантности, предъявляемого (при соответствующих обобщениях) к современным теориям [48]. Можно полагать, что введение в теорию динамики пространственно-временных взаимосвязей, охватывающих не только все возможные формы материи и энергии, но и саму изменяющуюся структуру пространства-времени на всех возможных масштабах, позволит перейти на более глубокий уровень понимания мира как единой динамической сущности (см. подробнее [21, 40]). Здесь имеется в виду и проникновение в природу закона Всемирного тяготения Ньютона, и понимание механизмов "безинерционного" воздействия всей материи Вселенной на формирование инерции частиц (принцип Маха), равно как и подавления "опережающих волн" при движении зарядов (принцип Уилера-Фейнмана, аналог принципа Маха в электродинамике).

В заключение еще раз следует подчеркнуть, что только осознание сущности вводимого в науку образа времени позволяет не только надеяться на адекватность восприятия окружающего мира, но и формировать язык общения с Природой, задавая "рабочие" вопросы в необходимом количестве и получая адекватные ответы с требуемой степенью подробностей – вести "новый диалог с Природой" (определение И Пригожина и И. Стенгерс [2]). Но как, на каких принципах такой язык может быть создан и о каком типе диалога может идти речь? Насколько возможно получать определенную информацию о состоянии и динамике термодинамически открытых многофакторных природных систем, которые проявляют свою сложность в "пространственных" рядах, соответствующих разнообразным хаотическим структурам, и временных рядах динамических переменных, характеризующих эволюционные изменения в этих сложных системах с бесконечным числом степеней свободы?

Обычно для описания информации, содержащейся в рассматриваемой системе, вводится информация по Шеннону [14]. Эффективность использования Шенонновской информации полностью себя оправдала в случаях, когда о системе может быть известно все, как это имеет место при компьютерных расчетах модельных систем. Однако при описании динамики сложных природных систем удобнее рассматривать не полную информацию, заключенную в системе, а скорость изменения энтропии Шеннона. Именно так вводится K-энтропия Колмогорова в теории детерминированного хаоса, устанавливается ее связь с коэффициентами Ляпунова для систем, динамика которых моделируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений или дискретными отображениями [14]. Однако об адекватном моделировании сложных природных систем (астрофизических, геофизических, экологических, медицинских, и др.), как показывает опыт, говорить нельзя. Это означает, что при анализе сложных природных процессов информационные образы энтропии Шеннона, равно как и модельные представления с введением энтропии Колмогорова и коэффициентов Ляпунова оказываются неадекватными. Представленная в данной работе FNS феноменология открывает новые возможности в анализе природных процессов, в формировании информационно-содержательного "языка общения с Природой", который позволит в совместных усилиях исследователей разного профиля, разных научных традиций и мнений "нащупать" пути постижения тех тайн и возможностей самой Природы, которые позволят в режиме "Нового диалога" выбрать и предложить обществу концепцию "Нового договора с Природой", предусматривающего оптимальные координированные решения для преодоления наступающего мировоззренческого кризиса с его социальной, экологической и демографической составляющими.

Представленная феноменология открывает новые возможности в анализе природных процессов, в формировании информационно-содержательного "языка общения с Природой".

Автор признателен Г.В. Встовскому за полезные обсуждения, замечания, советы. Работа выполнена при поддержке МНТЦ (грант № 2280).

ЛИТЕРАТУРА

1. Августин Аврелий. Исповедь. М.: Канон+ ОИ "Реабилитация", 2000, 464 с.
2. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с Природой. М.: Эдиториал УРСС, 2000, 310 с.
3. Рейхенбах Г. Направление Времени. М.: УРСС, 2003, 362 с.
4. Гуров К.П. Основания кинетической теории. М.: "Наука", 1966.
5. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика открытых систем. Том 2. Ь.: "Янус-К", 1999, 438 с.
6. Рудой Ю.Г., Суханов А.Д. Термодинамические флуктуации в подходах Гиббса и Эйнштейна. Успехи физических наук.
2000, т. 170, № 12, с. 1265-1296.
7. Cori R., Lascar D. Mathematical Logic. A course with Exercises. Part 2. Recursion Theory, Godel's Theorems, Set Theory, Model Theory. Oxford: Oxford University Press, 2001, 342 p.
8. Паршин А.Н. Размышления над теоремой Геделя. Вопросы философии. 2000, № 6, с. 92-109.
9. Тимашев С.Ф. Фликкер-шум как индикатор "стрелы времени". Методология анализа временных рядов на основе теории детерминированного хаоса. Российский химический журнал.
1997. Т.41. №3. С.17-29.
10. Timashev S.F. On the microscopic origin of the Second Law. In: Quantum Limits to the Second Law. First International Conference on Quantum Limits to the Second Law. San Diego, California 2002. Daniel P. Sheehan, Ed; American Institute of Physics, Melville, New York. Vol. 643. P. 367-372. 2002.
11. Тимашев С.Ф. О синергетических эффектах в кинетике твердофазных процессов. Доклады АН СССР. 1987. Т. 295. №3. С
. 661-664.
12. Srianand R., Petitjean P., Ledoux C. The cosmic microwave back ground radiation temperature at a redshift of 2.34. Nature. 2000. V. 408. P. 931-935.
13. Voss R.F., Clarke J. 1/f noise from systems in thermal equilibrium. Physical Review Letters. 1976. V. 36. N. 31. P. 42-45.
14. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир. 1988, 240 с.
15. R. Hegger, H. Kantz, T. Schreiber. Practical implementation of nonlinear time series methods: the TISEAN package. Chaos. 1999. V.9. N.2. P.413-435.
16. Гайденко П.П. Время и вечность. Вопросы философии. 2000, № 6, с. 110-136.
17. Аристотель. Метафизика. Пер. А.В. Кубицкого. Ростов-на-Дону: "Феникс", 1999. 601 с.
18. Гайденко П.П. От онтологизма к психологизму: понятие времени и длительности в
XVII-XVIII вв. Вопросы философии. 2001, №7, 77-99.
19. Ruhnau E. The Deconstruction of Time and the Emergence of Temporality. In: Time, Temporality, Now. Experiencing Time and Concept of Time in an Interdisciplinary Perspective. Harald Atmanspacher, Eva Ruhnau, Eds. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1997. P.53-69.
20. Weizsäcker C.F. Time – Empirical Mathematics – Quantum Theory. In: Time, Temporality, Now. Experiencing Time and Concept of Time in an Interdisciplinary Perspective. Harald Atmanspacher, Eva Ruhnau, Eds. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1997. P.91-104.
21. Тимашев С.Ф. О базовых принципах "Нового диалога с Природой". В сб. Проблемы геофизики
XXI века. Отв. ред. чл.-корр. РАН А.В. Николаев. М.: "Наука". С. 104-141. 2003.
22. Тимашев С.Ф., Встовский Г.В. Фликкер-шумовая спектроскопия в анализе хаотических временных рядов динамических переменных и проблема отношения "сигнал-шум". Электрохимия. 2003. Т.39. №2. С.149-162.
23. Descherevsky A.V., Lukk A.A., Sidorin A.Ya., Vstovsky G.V., Timashev S.F. Flicker-noise spectroscopy in earthquake prediction research. Natural Hazard and Earth System Sciences. 2002, v.20, P.1-6.
24. Bak P. How Nature works. The Science of Self-Organized Criticality. Oxford: Oxford University Press. 1997. 212 p.
25. C. Chui, An Introduction to Wavelets, Academic Press, New York (1992).
26. Hiley B.J., Fernandes M. Process and Time. In: Time, Temporality, Now. Experiencing Time and Concept of Time in an Interdisciplinary Perspective. Harald Atmanspacher, Eva Ruhnau, Eds. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1997. P.365-383.
27. Лазарев С.С. Онтология точности и прогностичности. Вопросы философии. 2004, № 1, с. 113-127.
28. Lure H. Time and Information. In: Time, Temporality, Now. Experiencing Time and Concept of Time in an Interdisciplinary Perspective. Harald Atmanspacher, Eva Ruhnau, Eds. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1997. P.81-89.
29. Платон. Диалоги. М.: ООО "Изд. АСТ" Фолио. 2001, 384 с.
30. Wilczek F. The third culture. Is quantum physics, like science and literature, in a world of its own? Nature. 2003, v. 424, p. 997-998.
31. Кант И. Пролегомены ко всякой метафизике, могущей возникнуть в смысле науки. М.: Изд. группа "Прогресс"-
VIA, 1993238 с.
32. Гоголь Н.В. Сочинения. Т.12. С.-Петербург: Издание А.Ф. Маркса, 1900, 260 с.
33. Френч М. Трансцендентность и троичность. Вопросы философии. 2003, № 11, с.117-134.
34. Гайденко П.П. Проблема времени у Канта: время как априорная форма чувственности и вневременность вещей в себе. Вопросы философии. 2003, № 9, с. 134-150.
35. Фракталы в физике. Ред. Л. Пьетронеро, Л.М. Тозатти. М.: "Мир", 1988, 670 с.
36. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. Москва-Ижевск: РХД, 2001, 116 с.
37. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. Теоретическая и математическая физика.
1992. Т.90. С. 354-367.
38. Méhauté A.L., Nigmatullin R.R., Nivanen L. Fléches du temps et géométrie fractale, 2^nd ed., Paris: Hermès, 1998.
39. Sukhanov A.D., Timashev S.F. On the fractal meaning of the anomalous diffusion. Communications of the Joint Institute for Nuclear research. Dubna, E4-99-167, 1999, 7 p.
40. Тимашев С.Ф. Трансцендентность мира как базовая концепция науки
XXI века. В сб. Прикладная синергетика, фракталы и компьютерное моделирование структур. Ред. А.А. Оксогоев. Томск: ТГУ. С. 21-48. 2002.
41. Павленко А.Н. Место "хаоса" в новом мировом "порядке" (Методологический анализ оснований хаотической космологии). Вопросы философии. 2003, № 9, с. 39-53.
42. Гершанский В.Ф. Философский гилодинамизм. Вопросы философии. 2003, № 11, с. 85-92.
43. Coles P. The end of the old model Universe. Nature. 1998, v. 393, p. 741-744.
44. Смольников А.А. Темная материя во Вселенной. Природа. 2001. № 7, с
. 10-19.
45. Smolin L. Atoms of Space and Time. Scientific American. 2004. January, p. 56-65.
46. Тимашев С.Ф. Физико-химические принципы глобальной экологии. Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. о-ва им. Д.И. Менделеева). 1996. Т. 40. №2. С. 113-124.
47. Герштейн С.С. Симметрия в физике. Физическая энциклопедия. М.: Научное издательство "Большая Российская энциклопедия", 1994, Т. 4. С. 505-509.
48. Кобзарев И.Ю. Релятивистская инвариантность. Физическая энциклопедия. М.: Научное издательство "Большая Российская энциклопедия", 1994, Т. 4. С. 332-333.

Самоорганизованная критичность

Самоорганизованная критичность

Системы с большим количеством взаимодействующих элементов естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, в котором малое событие может привести к катастрофе. Явление самоорганизованной критичности объясняет динамику землетрясений, рынков и экосистем.

ПЕР БАК, КАН ЧЕМ

КОГДА происходит катастрофа, эксперты, как правило, винят в ней какую-нибудь редкую совокупность обстоятельств или сочетание мощных механизмов. Когда сильное землетрясение обрушилось на Сан-Франциско, геологи связали его с неустойчивостью вдоль разлома Сан-Андреас. Когда в "Черный понедельник" 1987 г. рухнул рынок акций, экономисты указали на дестабилизирующее влияние торговли компьютерами. Когда по отпечаткам на окаменелостях узнали о гибели динозавров, одни палеонтологи приписали их исчезновение падению метеорита, другие извержению вулкана. Эти теории вполне могут быть правильными. Но такие большие и сложные системы, как земная кора, рынок акций и экосистема, могут разрушиться не только под воздействием мощного удара, но и при падении булавки. Большие, состоящие из взаимодействующих элементов, т. е. интерактивные системы, постоянно самоорганизуются, стремясь достичь некоторого критического состояния, в котором даже малое событие вызывает цепную реакцию, иногда приводящую к катастрофе.

Исследователи традиционно анализировали большие интерактивные системы так же, как малые упорядоченные системы. Происходило это главным образом потому, что разработанные для простых систем методы оказались весьма успешными. Ученые считали, что могут прогнозировать поведение большой интерактивной системы путем изучения по отдельности ее элементов и действующих внутри нее микроскопических механизмов. За отсутствием лучшей теории они предполагали, что отклик большой интерактивной системы пропорционален действующему на нее возмущению. Считалось, что динамика больших интерактивных систем может быть описана в терминах равновесного состояния, которое время от времени возмущается некоторой внешней силой.

В последние несколько десятилетий, однако, становилось все более ясно, что многие хаотические и сложные системы не поддаются традиционному анализу. В 1987 г. один из авторов (Бак) в сотрудничестве с Куртом Визенфельдом, работающим сейчас в Технологическом институте шт. Джорджия, и Чао Тангом, теперь сотрудником Института теоретической физики в Санта-Барбаре, разработал концепцию для объяснения поведения составных систем, т. е. систем, содержащих миллионы и миллионы элементов, взаимодействующих на малых расстояниях. Мы предложили теорию самоорганизованной критичности. Согласно этой теории, многие составные системы естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, в котором малое событие вызывает цепную реакцию, могущую повлиять на любое число элементов системы. Хотя в составных системах происходит больше незначительных событий, чем катастроф, цепные реакции всех масштабов являются неотъемлемой частью динамики. Как следует из теории критичности, малые события вызывает тот же механизм, что и крупные. Более того, составные системы никогда не достигают равновесия, а вместо этого эволюционируют от одного метастабильного состояния к другому.

Концепция самоорганизованной критичности — это холистическая теория (холизм — "философия целостности". — Перев.); она подразумевает, что глобальные характеристики, такие, как относительное число больших и малых событий, не зависят от микроскопических механизмов. Имен -но поэтому глобальные характеристики системы нельзя понять, анализируя ее части по отдельности. Насколько нам известно, концепция самоорганизованной критичности - это единственная модель, или математическое описание, которое привело к холистической теории динамических систем.

В последние четыре года эксперименты и расчеты по моделям показали, что многие составные системы, стоящие в центре исследований в геологии, экономике, биологии и метеорологии, обнаруживают признаки самоорганизованной критичности. Эти открытия улучшили наше понимание эволюции земной коры, рынка акций, экосистем и многих других составных систем.

ПОСКОЛЬКУ составные системы содержат много компонентов, а их поведение определяется большим числом взаимодействий, исследователи, вероятно, не в состоянии построить математические модели, которые были бы одновременно и совершенно реалистичными, и поддающимися теоретическому анализу. Поэтому они вынуждены прибегать к простым идеализированным моделям, отражающим существенные черты реальных систем. Если эти простые модели устойчиво ведут себя по отношению к различным модификациям, то результаты расчетов по ним можно экстраполировать на реальные ситуации. (Этот подход успешно применяется в равновесной статистической механике, где универсальные явления в системах со многими степенями свободы можно понять, изучая простые модели.)

Парадигмой для самоорганизованной критичности служит простая на первый взгляд система: куча песка. Некоторые исследователи моделировали динамику песочных куч с помощью компьютерных программ; другие, такие, как Гленн Хелд с сотрудниками в Исследовательском центре им. Томаса Уотсона корпорации IBM, проводили эксперименты. Как модели, так и эксперименты дали сходные результаты.

Хелд со своими сотрудниками создал устройство, которое медленно и равномерно — по одной песчинке — насыпает песок на круглую подложку. Сначала песчинки остаются близко к тому месту, куда они упали. Вскоре они начинают громоздиться друг на друга, образуя кучу с пологим склоном. Время от времени, когда в каком-то месте склон становится слишком крутым, песчинки соскальзывают вниз, вызывая небольшую лавину. По мере добавления песка и увеличения крутизны склона средний размер лавин увеличивается. Некоторые песчинки начинают сваливаться с края круга. Куча перестает расти, когда количество добавляемого песка в среднем компенсируется количеством песка, сваливающегося с края. В этот момент система достигает своего критического состояния.

Когда на кучу, находящуюся в критическом состоянии, падает песчинка, она может вызвать лавину любого размера, включая "катастрофическое" событие. Однако большую часть времени песчинки падают так, что лавин не возникает. Мы обнаружили, что даже самые большие лавины захватывают лишь небольшую долю песчинок в куче, поэтому даже катастрофические лавины не могут привести к значительному отклонению крутизны склона от критического значения.

Лавина является разновидностью цепной реакции, или ветвящегося процесса. Несколько упростив динамику лавины, можно определить главные характеристики цепной реакции и построить модель.

В начале схода лавины одна песчинка соскальзывает вниз по склону в результате некоторой неустойчивости на поверхности кучи. Эта песчинка остановится только тогда, когда окажется в устойчивом положении; в противном случае она продолжит движение. Если она столкнется с песчинками, которые почти неустойчивы, она заставит их также катиться вниз. В ходе этого процесса каждая движущаяся песчинка может остановиться или продолжать падать, а также может вызвать падение других песчинок. Процесс прекратится, когда все "активные" песчинки остановятся или скатятся с кучи. Для измерения размеров лавины можно просто сосчитать общее число скатившихся песчинок.

Куча сохраняет постоянную высоту и крутизну потому, что вероятность прекращения активности в среднем равна вероятности ветвления активности. Таким образом, цепная реакция поддерживает критическое состояние.

Если форма кучи такова, что крутизна ее склона меньше критической (субкритическое состояние), то лавины будут меньше, чем при критическом состоянии кучи. "Субкритичеекая" куча будет расти, пока не достигнет критического состояния. Если крутизна склона больше критической (суперкритическое состояние), то лавины будут значительно больше тех, что генерируются критическим состоянием. "Суперкритическая" куча будет уменьшаться, пока не перейдет в критическое состояние. Как субкритическая, так и суперкритическая кучи естественным образом тяготеют к критическому состоянию.

Что изменится, если вместо сухого песка взять мокрый или попытаться предотвратить лавины с помощью заграждений? Сначала влажная куча дает более редкие лавины меньшего размера, чем такая же сухая куча. Спустя некоторое время крутизна склона у влажной кучи вырастает до большего значения, чем у сухой. В этом состоянии влажная куча порождает лавины всех размеров: она эволюционировала к критическому состоянию. Аналогичную динамику можно наблюдать для кучи с "противолавинными" заграждениями. В целом критическое состояние устойчиво относительно любых малых изменений в характеристиках системы.

Песочная куча обладает двумя, на первый взгляд исключающими друг друга, свойствами: эта система неустойчива во многих различных местах и вместе с тем ее критическое состояние абсолютно устойчиво. С одной стороны, конкретные свойства, такие, как локальный рельеф кучи, постоянно меняются из-за лавин. С другой - статистические свойства системы, такие, как распределение размеров лавин, остаются неизменными.

Наблюдатель, изучающий какую-то область кучи, может легко выявить механизмы, вызывающие падение песка, и даже предсказать, возникнут ли лавины в ближайшем будущем. Для локального наблюдателя большие лавины останутся, однако, непредсказуемыми, потому что они являются следствием эволюции кучи в целом. Независимо от локальной динамики лавины будут неумолимо возникать с относительной частотой, которую нельзя изменить. Критичность является глобальным свойством песочной кучи.

Несмотря на то что песок добавляется к куче с постоянной скоростью, количество песка, ссыпающегося с кучи, значительно меняется со временем. Если нарисовать график этой величины в зависимости от времени, то мы увидим хаотический сигнал со следами всех длительностей. Такие сигналы известны как "шум мерцания", или "фликкер-шум", или шум 1/f. Как известно, шум мерцания указывает на то, что на динамику системы влияют прошлые события. И наоборот: "белый", или случайный, шум означает отсутствие корреляции между текущей динамикой и прошлыми событиями.

Шум мерцания чрезвычайно широко распространен в природе. Он наблюдается в активности Солнца, излучении галактик, токе, протекающем через резистор, и потоке воды в реке. Вездесущность шума мерцания — это одна из загадок в физике. Теория самоорганизованной критичности предлагает достаточно общую интерпретацию: шум мерцания является суперпозицией сигналов всех амплитуд и длительностей — сигналов, возникающих, когда система, находящаяся в критическом состоянии, порождает цепные реакции всех амплитуд и длительностей.

МЫ С КОЛЛЕГАМИ построили много компьютерных моделей, демонстрирующих самоорганизованную критичность. Эти модели помогли нам понять динамику землетрясений, экосистем и турбулентности в жидкостях.

Моделирование землетрясений было, наверное, самым удачным. В 1956 г. геологи Бено Гутенберг и Чарлз Рихтер (известный введением шкалы, которая носит его имя) обнаружили, что число сильных землетрясений связано с числом слабых (это правило известно как закон Гутенберга — Рихтера). В течение года число землетрясений, высвобождающих определенное количество энергии Е, пропорционально единице, деленной на E в степени b, где показатель b равен примерно 1,5. Показатель b универсален в том смысле, что он не зависит от географического района. Отсюда следует, что сильные землетрясения случаются гораздо реже, чем слабые. Например, если в районе каждый год происходит одно землетрясение с энергией 100 (в некоторых единицах), то там же ежегодно будет происходить приблизительно 1000 землетрясений с энергией 1.

Из-за того, что число слабых землетрясений тесно связано с числом сильных, можно предположить, что малые и большие события есть следствия одного и того же механического процесса. Мы с сотрудниками полагали, что степенное распределение свидетельствует о самоорганизованной критичности. Однако для того, чтобы проверить теорию, надо было понять, как можно имитировать процесс, вызывающий землетрясения.

Обычно предполагается, что землетрясения вызываются механизмом слипания — проскальзывания: блоки коры слипаются, а затем скользят относительно других блоков, создавая разломы. Когда один блок скользит относительно другого, напряжение снимается и распространяется на соседние районы.

Для воспроизведения этого механизма в лаборатории Владимир Бобров и Михаил Лебедкин из Института физики твердого тела в Черноголовке под Москвой провели эксперимент, в котором к алюминиевому стержню, имитировавшему участок земной коры, прикладывалось определенное давление. Это давление вызывало переход от упругого состояния (когда стержень после снятия давления возвращается к исходной форме) к пластическому течению (когда деформация является необратимой). В пластической фазе в стержне возникал своего рода участок "разлома", где две части стержня скользили относительно друг друга. Бобров и Лебедкин наблюдали "землетрясения", амплитуда и частота которых были связаны степенным законом. Когда они провели эксперименты с ниобиевыми стержнями вместо алюминиевых, они получили такие же результаты, несмотря на то, что микроскопические механизмы для этих двух материалов различны.

Мы создали простую компьютерную модель земной коры, которая воспроизводит важные черты землетрясений. В целях простоты мы ограничились рассмотрением всего двух плит: упругой и жесткой. Упругая плита представлена двумерным набором блоков, каждый из которых соединен с четырьмя окружающими блоками пружинами. Когда набор блоков сжимают, пружины действуют на блоки с силой, пропорциональной сжатию. (Мы включали в модель силы других типов, что мало изменило динамику.) Блоки упругой плиты взаимодействуют с жесткой плитой посредством трения.

Всякий раз, когда сила пружины, действующая на какой-либо блок, превышает некоторое критическое значение, блок начинает скользить. Он продолжает двигаться до тех пор, пока сила пружины не упадет ниже критической. Сила передается поровну его четырем соседям (во время этого процесса потенциальная энергия, запасенная в пружинах, сначала превращается в кинетическую, а затем рассеивается, когда блоки замедляются силами трения). Модель описывает распределение сил до и после каждого события, но не движение блока или другие детали динамического процесса.

Когда модель "приводится в движение" путем увеличения с небольшой постоянной скоростью силы, действующей на все блоки в одинаковом направлении, в модели начинают возникать серии "землетрясений". Сначала происходят только слабые "землетрясения", но постепенно система эволюционирует к критическому состоянию, в котором генерируются как слабые, так и сильные землетрясения. Равномерное увеличение силы в целом уравновешивается высвобождением силы на границе.

Наиболее подробно мы изучали модель с того момента, когда система эволюционировала к критическому состоянию. Мы предполагаем, что кора Земли уже находится в стационарном критическом состоянии, поэтому реальные землетрясения можно моделировать критическим состоянием модели.

В модели энергия, выделяемая во время "землетрясения", связана с числом событий проскальзывания, происходящих после возникновения одиночной неустойчивости в некотором "эпицентре". Если подсчитать число землетрясений каждой величины за длительный период, то получится степенное распределение, аналогичное закону Гутенберга — Рихтера. Катастрофические землетрясения представлены высокоэнергетической частью степенной кривой, которая может быть гладко экстраполирована из низкоэнергетической части, представляющей слабые землетрясения. Сильные землетрясения не определяются каким-то отдельным механизмом.

Мы строили модели в двух, трех и четырех измерениях, в которых к каждому блоку "присоединялось" соответственно четыре, шесть или восемь пружин. Размерность определяет показатель b в степенном законе. В картине критической цепной реакции различные значения b соответствуют различным "спариваниям" между отдельными ветвящимися процессами. Сергей Обухов из Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау в Москве показал, что в четырех и более измерениях отдельные ветвящиеся процессы существенно независимы, и значение b , рассчитанное аналитически, равно 1,5.

Конечно, активные регионы реальных землетрясений трехмерны, и компьютерное моделирование — пока единственный способ предсказать реальное значение b. Не стоит думать, что грубо упрощенная модель даст правильные показатели для распределения реальных землетрясений. Тем не менее модель показывает, что состояние самоорганизованных критических систем должно описываться степенными законами, и наоборот, закон Гутенберга — Рихтера можно считать доказательством того, что земная кора постоянно находится в критическом состоянии. Исследователи из разных стран применяли теорию самоорганизованной критичности для объяснения многих других свойств землетрясений. Кейсуке Ито и Мицухиро Мацузаки из Университета Кобэ объяснили пространственное распределение эпицентров с помощью слегка модифицированной модели. Они объяснили также простой эмпирический закон для числа афтертоков (следующих за землетрясением небольших толчков. - Ред.) данной магнитуды, известный как "закон Омори". Анн и Дидье Сорнет из Университета в Ницце анализировали временные интервалы между сильными землетрясениями и обнаружили закономерность, которая может иметь важные следствия для долгосрочного прогноза землетрясений. Джейн Карлсон и Джеймс Лэнгер из Института теоретической физики создали одномерную модель движения земной коры вдоль разлома. Они обнаружили, что модель действительно эволюционирует к критическому состоянию.

ТЕОРИЯ самоорганизованной критичности не только объясняет эволюцию землетрясений, но и описывает распределение их эпицентров. В течение более десяти лет исследователи знали, что степенные законы могут описывать распределение таких объектов, как горы, облака, галактики и вихри в турбулентных жидкостях. Число объектов внутри, например, сферы радиуса r пропорционально г в степени, представляющей собой некоторую константу.

Такое распределение объектов называется фракталом. Мы пришли к выводу, что фракталы описывают и распределение эпицентров землетрясений. Хотя фракталы встречаются в природе повсеместно, исследователи только-только начали понимать создающую их динамику. Мы и наши коллеги предлагаем рассматривать фракталы как мгновенные "срезы" самоорганизованных критических процессов. Фрактальные структуры и шум мерцания являются, соответственно, пространственными и временными "отпечатками" самоорганизованной критичности.

Прогнозирование землетрясений по-прежнему остается трудной задачей. Устойчивость земной коры, по-видимому, весьма чувствительна к начальным условиям системы. Иногда на развитие землетрясения могут повлиять условия вдали от эпицентра.

Чтобы оценить точность прогнозов для динамической системы, необходимо знать с некоторой точностью начальные условия, а также правила динамики. В нехаотических системах, таких, как Земля, движущаяся по орбите вокруг Солнца, неопределенность остается постоянной: можно определить положение Земли на момент через миллион лет почти с той же точностью, с которой можно знать теперешнее ее положение.

В хаотических же системах малая начальная неопределенность растет со временем экспоненциально. Более того, при попытке делать прогнозы на все более далекое будущее объем информации, который необходимо собрать о начальных условиях, также растет экспоненциально. Этот экспоненциальный рост большей частью препятствует долгосрочным прогнозам.

Для проверки точности прогнозов в нашей модели землятресений мы провели две имитации критического состояния. Эти имитации различаются наличием малой случайной силы, действующей на каждый блок и представляющей малую неопределенность в отношении начальных условий. При запуске этих двух моделей неопределенность растет со временем, но гораздо медленнее, чем в хаотических системах. Неопределенность растет по степенному, а не по экспоненциальному закону. Система эволюционирует на грани хаоса. Это поведение, называемое слабым хаосом, является результатом самоорганизованной критичности.

Слабый хаос существенно отличается от полностью хаотического поведения. Полностью хаотические системы характеризуются интервалом времени, выходить за пределы которого при прогнозировании невозможно. В слабохаотических системах такая характеристика отсутствует, и поэтому они допускают долгосрочное прогнозирование. Поскольку мы обнаруживаем, что все самоорганизованные критические системы являются слабохаотическими, мы думаем, что слабый хаос очень распространен в природе. Было бы, конечно, интересно знать, действительно ли неточность прогнозов землетрясений, экономических прогнозов и прогнозов погоды растет со временем по степенному, а не по экспоненциальному закону.

Например, если погода — явление хаотичное и 100 обсерваторий собирают достаточно информации для прогноза погоды на два дня вперед, то 1000 обсерваторий могли бы обеспечить прогноз на четыре дня вперед. Если же погода слабохаотичное явление, то 1000 обсерваторий могли бы обеспечить прогноз на 20 дней вперед.

Заменив понятия и воспользовавшись воображением, модель кучи песка или землетрясения можно трансформировать применительно ко многим ситуациям. Было, например, показано, что поток автомобилей на шоссе описывается шумом мерцания. Движение с попеременным троганьем с места и остановкой можно рассматривать как критические лавины, распространяющиеся по потоку автомобилей.

МОДЕЛИ уличного движения, песочных куч и землетрясений похожи в том смысле, что число элементов в этих системах сохраняется. Например, число песчинок в куче всегда равно числу упавших на кучу минус число скатившихся с нее. Сохранение элементов является важной чертой многих систем, которые естественным образом эволюционируют к критическому состоянию. Теория самоорганизованной критичности не ограничена (и это можно показать на примере игры "жизнь") системами, характеризующимися локальными законами сохранения.

В 1970 г. математик Джон Конвей изобрел игру, которую впоследствии популяризовал Мартин Гарднер (см. его рубрику Mathematical Games, "Scientific American", October 1972). Игра "жизнь" моделирует эволюцию колонии живых организмов и имитирует генерацию сложности в природе. До начала игры фишки, или "организмы", размещаются случайным образом на доске, состоящей из квадратных ячеек. Каждая ячейка занята не более чем одним организмом и окружена восемью соседними ячейками. Для определения на каждом ходу состояния ячейки необходимо сосчитать число организмов, занимающих восемь соседних ячеек. Если вокруг пустой или занятой ячейки имеется две "живых" ячейки, то состояние этой ячейки не меняется. Если вокру некоторой ячейки имеется три живых ячейки, то они дают начало новому организму или поддерживают жизнь существующего организма. Во всех остальных случаях организм умирает от перенаселенности или одиночества. Игра продолжается по этим правилам, пока не приходит в состояние "покоя" — некоторое простое периодическое состояние, содержащее устойчивые колонии. Когда вносят возмущение, добавляя дополнительную "живую" ячейку, в системе часто наблюдаются длительные активные переходные процессы.

Авторы данной статьи и Майкл Крейц из Брукхейвенской национальной лаборатории недавно изучили игру "жизнь", чтобы определить, будет ли число живых ячеек колебаться со временем, как размеры лавин в модели кучи песка. Когда система приходила в состояние покоя, мы добавляли в случайном месте один организм, ждали пока система придет в новое состояние покоя, и повторяли процедуру. Затем мы измеряли общее число рождений и смертей в "лавине" после каждого дополнительного возмущения. Было обнаружено, что распределение описывается степенным законом, указывая, что система самоорганизовывалась в критическое состояние.

Мы обнаружили также, что распределение живых ячеек является фракталом, который можно описать степенным законом. Среднее число активных ячеек на расстоянии r от данной активной ячейки было пропорционально r в степени D, где D оказалось равным примерно 1,7.

Но не является ли критичность случайной в том смысле, что она возникает только для очень специфичных правил, изобретенных Конвеем? Чтобы найти ответ на этот вопрос, мы построили модели, являющиеся вариациями игры "жизнь". Некоторые вариации были трехмерными; в других организмы добавлялись в систему по мере ее эволюции или вводились в определенные, а не в случайные ячейки. Все модели эволюционировали к критическому состоянию и могли быть описаны степенными законами, которые, судя по всему, зависят только от пространственной размерности.

Мы предполагаем, что наши модели могут иметь важные следствия для теоретической биологии. Игру "жизнь" допустимо рассматривать как игрушечную модель коэволюционной системы. Каждая ячейка может представлять ген очень простого вида, принимающий значение 1 или 0. Устойчивость каждого значения зависит от состояния среды, выраженного значениями генов соседних видов. Коэволюционный процесс переводит систему из начального случайного состояния в высокоорганизованное критическое состояние со сложными статическими и динамическими конфигурациями. Сложность глобальной динамики тесно связана с критичностью динамики. Фактически теория сложности и теория критичности могут быть по своей природе одинаковыми.

Биолог Стюарт Кауффман из Пенсильванского университета предложил модель эволюции, в которой виды представлены цепочками чисел (генов). Гены взаимодействуют как внутри видов, так и между ними. Кауффман предположил, что сложность жизни может быть тесно связана с существованием критического состояния. Наши исследования показывают, что эволюция может автоматически привести простую, более или менее случайную интерактивную динамическую систему точно к такому критическому состоянию. Если этот сценарий правилен, то эволюция действует на грани хаоса. Исчезновение динозавров, например, можно было бы рассматривать как лавину в динамике эволюции, и его объяснение не требует внешней силы — падения метеорита или извержения вулкана.

Филип Андерсон из Принстонского университета, Брайан Артур из Станфордского университета, Кауффман и один из авторов статьи (Бак) пришли к выводу, что флуктуации в экономике также могут быть лавинами в самоорганизованном критическом состоянии системы. Бенуа Мандельброт из корпорации IBM проанализировал такие показатели, как индекс Доу-Джонса, и обнаружил флуктуации, аналогичные шуму мерцания. Различные метастабильные стационарные состояния экономики могут соответствовать различным метастабильным состояниям песочной кучи или земной коры.

Традиционные модели предполагают существование очень устойчивого равновесного положения для экономики; при этом большие агрегатные флуктуации могут возникнуть только от внешних ударов, которые одновременно влияют на много разных секторов одинаковым образом. Однако часто трудно отыскать причины таких крупномасштабных флуктуации, как депрессия 1930-х годов. Если, с другой стороны, экономика является самоорганизованной критической системой, то более или менее периодических крупномасштабных флуктуации можно ожидать даже в отсутствие каких-либо общих для разных секторов "толчков".

Для проверки жизнеспособности этих идей мы вместе с Хосе Шейнкманом и Майклом Вудфордом из Чикагского университета создали простую модель, в которой компании, производящие разные продукты, занимают каждая свою позицию в двумерной решетке. Каждая компания покупает исходные материалы у двух компаний, расположенных на соседних позициях. Затем каждая производит новые продукты, которые пытается продать на открытом рынке. Если спрос на продукт каждой компании изменяется случайным образом на малую величину, многие компании могут испытать "лавину" в продаже и производстве. Расчеты показывают, что эта модель стремится к самоорганизованному критическому состоянию таким же образом, как и модель кучи песка. Большие флуктуации являются внутренним и неизбежным свойством динамики этой модельной экономики.

Теория самоорганизованной критичности может найти применение и в динамике жидкости. Давно считалось, что в турбулентной среде энергия сосредоточена в вихрях всех размеров. Мандельброт предположил, что рассеяние энергии происходит в микроскопической части пространства, занимающей сложную фрактальную структуру. Хотя эта гипотеза, судя по всему, согласуется с экспериментами, не существует ни теории, ни расчетов, которые бы воспроизводили такую картину.

В сотрудничестве с Гангом мы построили простую "игрушечную" модель турбулентности, которая работает в самоорганизованном критическом состоянии. Модель имитирует лесные пожары, где "деревья" растут равномерно, а горят (рассеивается энергия) фрактально. Можно считать, что рассеяние энергии вызывается последовательностью пожаров, распространяющихся, как лавины. В критическом состоянии имеется распределение пожаров и лесных участков всех размеров, соответствующее тому факту, что в турбулентной жидкости энергия хранится в вихрях всех масштабов. Хотя эта модель нереалистична для жидкостей, мы тем не менее предполагаем, что турбулентность может быть самоорганизованным критическим явлением. Одним из следствий этой гипотезы (которое можно легко проверить экспериментально) является то, что полностью развитая турбулентность представляет собой не "сильно" хаотическое явление, как обычно предполагается, а лишь слабохаотическое, как это имеет место в модели землетрясений.

МОЖНО ПРИДУМАТЬ и более экзотические примеры самоорганизованной критичности. Так, на протяжении человеческой истории войны и мирные взаимодействия между странами и народами могли привести к критическому состоянию, в котором конфликты и социальные волнения распространяются, как лавины. Самоорганизованная критичность может даже объяснить, как распространяется информация по нейронным сетям в мозге. Неудивительно поэтому, что блестящие идеи могут инициироваться малыми событиями (например, как мы надеемся, чтением данной статьи).