Самоорганизованная критичность

Самоорганизованная критичность

Системы с большим количеством взаимодействующих элементов естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, в котором малое событие может привести к катастрофе. Явление самоорганизованной критичности объясняет динамику землетрясений, рынков и экосистем.

ПЕР БАК, КАН ЧЕМ

КОГДА происходит катастрофа, эксперты, как правило, винят в ней какую-нибудь редкую совокупность обстоятельств или сочетание мощных механизмов. Когда сильное землетрясение обрушилось на Сан-Франциско, геологи связали его с неустойчивостью вдоль разлома Сан-Андреас. Когда в "Черный понедельник" 1987 г. рухнул рынок акций, экономисты указали на дестабилизирующее влияние торговли компьютерами. Когда по отпечаткам на окаменелостях узнали о гибели динозавров, одни палеонтологи приписали их исчезновение падению метеорита, другие извержению вулкана. Эти теории вполне могут быть правильными. Но такие большие и сложные системы, как земная кора, рынок акций и экосистема, могут разрушиться не только под воздействием мощного удара, но и при падении булавки. Большие, состоящие из взаимодействующих элементов, т. е. интерактивные системы, постоянно самоорганизуются, стремясь достичь некоторого критического состояния, в котором даже малое событие вызывает цепную реакцию, иногда приводящую к катастрофе.

Исследователи традиционно анализировали большие интерактивные системы так же, как малые упорядоченные системы. Происходило это главным образом потому, что разработанные для простых систем методы оказались весьма успешными. Ученые считали, что могут прогнозировать поведение большой интерактивной системы путем изучения по отдельности ее элементов и действующих внутри нее микроскопических механизмов. За отсутствием лучшей теории они предполагали, что отклик большой интерактивной системы пропорционален действующему на нее возмущению. Считалось, что динамика больших интерактивных систем может быть описана в терминах равновесного состояния, которое время от времени возмущается некоторой внешней силой.

В последние несколько десятилетий, однако, становилось все более ясно, что многие хаотические и сложные системы не поддаются традиционному анализу. В 1987 г. один из авторов (Бак) в сотрудничестве с Куртом Визенфельдом, работающим сейчас в Технологическом институте шт. Джорджия, и Чао Тангом, теперь сотрудником Института теоретической физики в Санта-Барбаре, разработал концепцию для объяснения поведения составных систем, т. е. систем, содержащих миллионы и миллионы элементов, взаимодействующих на малых расстояниях. Мы предложили теорию самоорганизованной критичности. Согласно этой теории, многие составные системы естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, в котором малое событие вызывает цепную реакцию, могущую повлиять на любое число элементов системы. Хотя в составных системах происходит больше незначительных событий, чем катастроф, цепные реакции всех масштабов являются неотъемлемой частью динамики. Как следует из теории критичности, малые события вызывает тот же механизм, что и крупные. Более того, составные системы никогда не достигают равновесия, а вместо этого эволюционируют от одного метастабильного состояния к другому.

Концепция самоорганизованной критичности — это холистическая теория (холизм — "философия целостности". — Перев.); она подразумевает, что глобальные характеристики, такие, как относительное число больших и малых событий, не зависят от микроскопических механизмов. Имен -но поэтому глобальные характеристики системы нельзя понять, анализируя ее части по отдельности. Насколько нам известно, концепция самоорганизованной критичности - это единственная модель, или математическое описание, которое привело к холистической теории динамических систем.

В последние четыре года эксперименты и расчеты по моделям показали, что многие составные системы, стоящие в центре исследований в геологии, экономике, биологии и метеорологии, обнаруживают признаки самоорганизованной критичности. Эти открытия улучшили наше понимание эволюции земной коры, рынка акций, экосистем и многих других составных систем.

ПОСКОЛЬКУ составные системы содержат много компонентов, а их поведение определяется большим числом взаимодействий, исследователи, вероятно, не в состоянии построить математические модели, которые были бы одновременно и совершенно реалистичными, и поддающимися теоретическому анализу. Поэтому они вынуждены прибегать к простым идеализированным моделям, отражающим существенные черты реальных систем. Если эти простые модели устойчиво ведут себя по отношению к различным модификациям, то результаты расчетов по ним можно экстраполировать на реальные ситуации. (Этот подход успешно применяется в равновесной статистической механике, где универсальные явления в системах со многими степенями свободы можно понять, изучая простые модели.)

Парадигмой для самоорганизованной критичности служит простая на первый взгляд система: куча песка. Некоторые исследователи моделировали динамику песочных куч с помощью компьютерных программ; другие, такие, как Гленн Хелд с сотрудниками в Исследовательском центре им. Томаса Уотсона корпорации IBM, проводили эксперименты. Как модели, так и эксперименты дали сходные результаты.

Хелд со своими сотрудниками создал устройство, которое медленно и равномерно — по одной песчинке — насыпает песок на круглую подложку. Сначала песчинки остаются близко к тому месту, куда они упали. Вскоре они начинают громоздиться друг на друга, образуя кучу с пологим склоном. Время от времени, когда в каком-то месте склон становится слишком крутым, песчинки соскальзывают вниз, вызывая небольшую лавину. По мере добавления песка и увеличения крутизны склона средний размер лавин увеличивается. Некоторые песчинки начинают сваливаться с края круга. Куча перестает расти, когда количество добавляемого песка в среднем компенсируется количеством песка, сваливающегося с края. В этот момент система достигает своего критического состояния.

Когда на кучу, находящуюся в критическом состоянии, падает песчинка, она может вызвать лавину любого размера, включая "катастрофическое" событие. Однако большую часть времени песчинки падают так, что лавин не возникает. Мы обнаружили, что даже самые большие лавины захватывают лишь небольшую долю песчинок в куче, поэтому даже катастрофические лавины не могут привести к значительному отклонению крутизны склона от критического значения.

Лавина является разновидностью цепной реакции, или ветвящегося процесса. Несколько упростив динамику лавины, можно определить главные характеристики цепной реакции и построить модель.

В начале схода лавины одна песчинка соскальзывает вниз по склону в результате некоторой неустойчивости на поверхности кучи. Эта песчинка остановится только тогда, когда окажется в устойчивом положении; в противном случае она продолжит движение. Если она столкнется с песчинками, которые почти неустойчивы, она заставит их также катиться вниз. В ходе этого процесса каждая движущаяся песчинка может остановиться или продолжать падать, а также может вызвать падение других песчинок. Процесс прекратится, когда все "активные" песчинки остановятся или скатятся с кучи. Для измерения размеров лавины можно просто сосчитать общее число скатившихся песчинок.

Куча сохраняет постоянную высоту и крутизну потому, что вероятность прекращения активности в среднем равна вероятности ветвления активности. Таким образом, цепная реакция поддерживает критическое состояние.

Если форма кучи такова, что крутизна ее склона меньше критической (субкритическое состояние), то лавины будут меньше, чем при критическом состоянии кучи. "Субкритичеекая" куча будет расти, пока не достигнет критического состояния. Если крутизна склона больше критической (суперкритическое состояние), то лавины будут значительно больше тех, что генерируются критическим состоянием. "Суперкритическая" куча будет уменьшаться, пока не перейдет в критическое состояние. Как субкритическая, так и суперкритическая кучи естественным образом тяготеют к критическому состоянию.

Что изменится, если вместо сухого песка взять мокрый или попытаться предотвратить лавины с помощью заграждений? Сначала влажная куча дает более редкие лавины меньшего размера, чем такая же сухая куча. Спустя некоторое время крутизна склона у влажной кучи вырастает до большего значения, чем у сухой. В этом состоянии влажная куча порождает лавины всех размеров: она эволюционировала к критическому состоянию. Аналогичную динамику можно наблюдать для кучи с "противолавинными" заграждениями. В целом критическое состояние устойчиво относительно любых малых изменений в характеристиках системы.

Песочная куча обладает двумя, на первый взгляд исключающими друг друга, свойствами: эта система неустойчива во многих различных местах и вместе с тем ее критическое состояние абсолютно устойчиво. С одной стороны, конкретные свойства, такие, как локальный рельеф кучи, постоянно меняются из-за лавин. С другой - статистические свойства системы, такие, как распределение размеров лавин, остаются неизменными.

Наблюдатель, изучающий какую-то область кучи, может легко выявить механизмы, вызывающие падение песка, и даже предсказать, возникнут ли лавины в ближайшем будущем. Для локального наблюдателя большие лавины останутся, однако, непредсказуемыми, потому что они являются следствием эволюции кучи в целом. Независимо от локальной динамики лавины будут неумолимо возникать с относительной частотой, которую нельзя изменить. Критичность является глобальным свойством песочной кучи.

Несмотря на то что песок добавляется к куче с постоянной скоростью, количество песка, ссыпающегося с кучи, значительно меняется со временем. Если нарисовать график этой величины в зависимости от времени, то мы увидим хаотический сигнал со следами всех длительностей. Такие сигналы известны как "шум мерцания", или "фликкер-шум", или шум 1/f. Как известно, шум мерцания указывает на то, что на динамику системы влияют прошлые события. И наоборот: "белый", или случайный, шум означает отсутствие корреляции между текущей динамикой и прошлыми событиями.

Шум мерцания чрезвычайно широко распространен в природе. Он наблюдается в активности Солнца, излучении галактик, токе, протекающем через резистор, и потоке воды в реке. Вездесущность шума мерцания — это одна из загадок в физике. Теория самоорганизованной критичности предлагает достаточно общую интерпретацию: шум мерцания является суперпозицией сигналов всех амплитуд и длительностей — сигналов, возникающих, когда система, находящаяся в критическом состоянии, порождает цепные реакции всех амплитуд и длительностей.

МЫ С КОЛЛЕГАМИ построили много компьютерных моделей, демонстрирующих самоорганизованную критичность. Эти модели помогли нам понять динамику землетрясений, экосистем и турбулентности в жидкостях.

Моделирование землетрясений было, наверное, самым удачным. В 1956 г. геологи Бено Гутенберг и Чарлз Рихтер (известный введением шкалы, которая носит его имя) обнаружили, что число сильных землетрясений связано с числом слабых (это правило известно как закон Гутенберга — Рихтера). В течение года число землетрясений, высвобождающих определенное количество энергии Е, пропорционально единице, деленной на E в степени b, где показатель b равен примерно 1,5. Показатель b универсален в том смысле, что он не зависит от географического района. Отсюда следует, что сильные землетрясения случаются гораздо реже, чем слабые. Например, если в районе каждый год происходит одно землетрясение с энергией 100 (в некоторых единицах), то там же ежегодно будет происходить приблизительно 1000 землетрясений с энергией 1.

Из-за того, что число слабых землетрясений тесно связано с числом сильных, можно предположить, что малые и большие события есть следствия одного и того же механического процесса. Мы с сотрудниками полагали, что степенное распределение свидетельствует о самоорганизованной критичности. Однако для того, чтобы проверить теорию, надо было понять, как можно имитировать процесс, вызывающий землетрясения.

Обычно предполагается, что землетрясения вызываются механизмом слипания — проскальзывания: блоки коры слипаются, а затем скользят относительно других блоков, создавая разломы. Когда один блок скользит относительно другого, напряжение снимается и распространяется на соседние районы.

Для воспроизведения этого механизма в лаборатории Владимир Бобров и Михаил Лебедкин из Института физики твердого тела в Черноголовке под Москвой провели эксперимент, в котором к алюминиевому стержню, имитировавшему участок земной коры, прикладывалось определенное давление. Это давление вызывало переход от упругого состояния (когда стержень после снятия давления возвращается к исходной форме) к пластическому течению (когда деформация является необратимой). В пластической фазе в стержне возникал своего рода участок "разлома", где две части стержня скользили относительно друг друга. Бобров и Лебедкин наблюдали "землетрясения", амплитуда и частота которых были связаны степенным законом. Когда они провели эксперименты с ниобиевыми стержнями вместо алюминиевых, они получили такие же результаты, несмотря на то, что микроскопические механизмы для этих двух материалов различны.

Мы создали простую компьютерную модель земной коры, которая воспроизводит важные черты землетрясений. В целях простоты мы ограничились рассмотрением всего двух плит: упругой и жесткой. Упругая плита представлена двумерным набором блоков, каждый из которых соединен с четырьмя окружающими блоками пружинами. Когда набор блоков сжимают, пружины действуют на блоки с силой, пропорциональной сжатию. (Мы включали в модель силы других типов, что мало изменило динамику.) Блоки упругой плиты взаимодействуют с жесткой плитой посредством трения.

Всякий раз, когда сила пружины, действующая на какой-либо блок, превышает некоторое критическое значение, блок начинает скользить. Он продолжает двигаться до тех пор, пока сила пружины не упадет ниже критической. Сила передается поровну его четырем соседям (во время этого процесса потенциальная энергия, запасенная в пружинах, сначала превращается в кинетическую, а затем рассеивается, когда блоки замедляются силами трения). Модель описывает распределение сил до и после каждого события, но не движение блока или другие детали динамического процесса.

Когда модель "приводится в движение" путем увеличения с небольшой постоянной скоростью силы, действующей на все блоки в одинаковом направлении, в модели начинают возникать серии "землетрясений". Сначала происходят только слабые "землетрясения", но постепенно система эволюционирует к критическому состоянию, в котором генерируются как слабые, так и сильные землетрясения. Равномерное увеличение силы в целом уравновешивается высвобождением силы на границе.

Наиболее подробно мы изучали модель с того момента, когда система эволюционировала к критическому состоянию. Мы предполагаем, что кора Земли уже находится в стационарном критическом состоянии, поэтому реальные землетрясения можно моделировать критическим состоянием модели.

В модели энергия, выделяемая во время "землетрясения", связана с числом событий проскальзывания, происходящих после возникновения одиночной неустойчивости в некотором "эпицентре". Если подсчитать число землетрясений каждой величины за длительный период, то получится степенное распределение, аналогичное закону Гутенберга — Рихтера. Катастрофические землетрясения представлены высокоэнергетической частью степенной кривой, которая может быть гладко экстраполирована из низкоэнергетической части, представляющей слабые землетрясения. Сильные землетрясения не определяются каким-то отдельным механизмом.

Мы строили модели в двух, трех и четырех измерениях, в которых к каждому блоку "присоединялось" соответственно четыре, шесть или восемь пружин. Размерность определяет показатель b в степенном законе. В картине критической цепной реакции различные значения b соответствуют различным "спариваниям" между отдельными ветвящимися процессами. Сергей Обухов из Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау в Москве показал, что в четырех и более измерениях отдельные ветвящиеся процессы существенно независимы, и значение b , рассчитанное аналитически, равно 1,5.

Конечно, активные регионы реальных землетрясений трехмерны, и компьютерное моделирование — пока единственный способ предсказать реальное значение b. Не стоит думать, что грубо упрощенная модель даст правильные показатели для распределения реальных землетрясений. Тем не менее модель показывает, что состояние самоорганизованных критических систем должно описываться степенными законами, и наоборот, закон Гутенберга — Рихтера можно считать доказательством того, что земная кора постоянно находится в критическом состоянии. Исследователи из разных стран применяли теорию самоорганизованной критичности для объяснения многих других свойств землетрясений. Кейсуке Ито и Мицухиро Мацузаки из Университета Кобэ объяснили пространственное распределение эпицентров с помощью слегка модифицированной модели. Они объяснили также простой эмпирический закон для числа афтертоков (следующих за землетрясением небольших толчков. - Ред.) данной магнитуды, известный как "закон Омори". Анн и Дидье Сорнет из Университета в Ницце анализировали временные интервалы между сильными землетрясениями и обнаружили закономерность, которая может иметь важные следствия для долгосрочного прогноза землетрясений. Джейн Карлсон и Джеймс Лэнгер из Института теоретической физики создали одномерную модель движения земной коры вдоль разлома. Они обнаружили, что модель действительно эволюционирует к критическому состоянию.

ТЕОРИЯ самоорганизованной критичности не только объясняет эволюцию землетрясений, но и описывает распределение их эпицентров. В течение более десяти лет исследователи знали, что степенные законы могут описывать распределение таких объектов, как горы, облака, галактики и вихри в турбулентных жидкостях. Число объектов внутри, например, сферы радиуса r пропорционально г в степени, представляющей собой некоторую константу.

Такое распределение объектов называется фракталом. Мы пришли к выводу, что фракталы описывают и распределение эпицентров землетрясений. Хотя фракталы встречаются в природе повсеместно, исследователи только-только начали понимать создающую их динамику. Мы и наши коллеги предлагаем рассматривать фракталы как мгновенные "срезы" самоорганизованных критических процессов. Фрактальные структуры и шум мерцания являются, соответственно, пространственными и временными "отпечатками" самоорганизованной критичности.

Прогнозирование землетрясений по-прежнему остается трудной задачей. Устойчивость земной коры, по-видимому, весьма чувствительна к начальным условиям системы. Иногда на развитие землетрясения могут повлиять условия вдали от эпицентра.

Чтобы оценить точность прогнозов для динамической системы, необходимо знать с некоторой точностью начальные условия, а также правила динамики. В нехаотических системах, таких, как Земля, движущаяся по орбите вокруг Солнца, неопределенность остается постоянной: можно определить положение Земли на момент через миллион лет почти с той же точностью, с которой можно знать теперешнее ее положение.

В хаотических же системах малая начальная неопределенность растет со временем экспоненциально. Более того, при попытке делать прогнозы на все более далекое будущее объем информации, который необходимо собрать о начальных условиях, также растет экспоненциально. Этот экспоненциальный рост большей частью препятствует долгосрочным прогнозам.

Для проверки точности прогнозов в нашей модели землятресений мы провели две имитации критического состояния. Эти имитации различаются наличием малой случайной силы, действующей на каждый блок и представляющей малую неопределенность в отношении начальных условий. При запуске этих двух моделей неопределенность растет со временем, но гораздо медленнее, чем в хаотических системах. Неопределенность растет по степенному, а не по экспоненциальному закону. Система эволюционирует на грани хаоса. Это поведение, называемое слабым хаосом, является результатом самоорганизованной критичности.

Слабый хаос существенно отличается от полностью хаотического поведения. Полностью хаотические системы характеризуются интервалом времени, выходить за пределы которого при прогнозировании невозможно. В слабохаотических системах такая характеристика отсутствует, и поэтому они допускают долгосрочное прогнозирование. Поскольку мы обнаруживаем, что все самоорганизованные критические системы являются слабохаотическими, мы думаем, что слабый хаос очень распространен в природе. Было бы, конечно, интересно знать, действительно ли неточность прогнозов землетрясений, экономических прогнозов и прогнозов погоды растет со временем по степенному, а не по экспоненциальному закону.

Например, если погода — явление хаотичное и 100 обсерваторий собирают достаточно информации для прогноза погоды на два дня вперед, то 1000 обсерваторий могли бы обеспечить прогноз на четыре дня вперед. Если же погода слабохаотичное явление, то 1000 обсерваторий могли бы обеспечить прогноз на 20 дней вперед.

Заменив понятия и воспользовавшись воображением, модель кучи песка или землетрясения можно трансформировать применительно ко многим ситуациям. Было, например, показано, что поток автомобилей на шоссе описывается шумом мерцания. Движение с попеременным троганьем с места и остановкой можно рассматривать как критические лавины, распространяющиеся по потоку автомобилей.

МОДЕЛИ уличного движения, песочных куч и землетрясений похожи в том смысле, что число элементов в этих системах сохраняется. Например, число песчинок в куче всегда равно числу упавших на кучу минус число скатившихся с нее. Сохранение элементов является важной чертой многих систем, которые естественным образом эволюционируют к критическому состоянию. Теория самоорганизованной критичности не ограничена (и это можно показать на примере игры "жизнь") системами, характеризующимися локальными законами сохранения.

В 1970 г. математик Джон Конвей изобрел игру, которую впоследствии популяризовал Мартин Гарднер (см. его рубрику Mathematical Games, "Scientific American", October 1972). Игра "жизнь" моделирует эволюцию колонии живых организмов и имитирует генерацию сложности в природе. До начала игры фишки, или "организмы", размещаются случайным образом на доске, состоящей из квадратных ячеек. Каждая ячейка занята не более чем одним организмом и окружена восемью соседними ячейками. Для определения на каждом ходу состояния ячейки необходимо сосчитать число организмов, занимающих восемь соседних ячеек. Если вокруг пустой или занятой ячейки имеется две "живых" ячейки, то состояние этой ячейки не меняется. Если вокру некоторой ячейки имеется три живых ячейки, то они дают начало новому организму или поддерживают жизнь существующего организма. Во всех остальных случаях организм умирает от перенаселенности или одиночества. Игра продолжается по этим правилам, пока не приходит в состояние "покоя" — некоторое простое периодическое состояние, содержащее устойчивые колонии. Когда вносят возмущение, добавляя дополнительную "живую" ячейку, в системе часто наблюдаются длительные активные переходные процессы.

Авторы данной статьи и Майкл Крейц из Брукхейвенской национальной лаборатории недавно изучили игру "жизнь", чтобы определить, будет ли число живых ячеек колебаться со временем, как размеры лавин в модели кучи песка. Когда система приходила в состояние покоя, мы добавляли в случайном месте один организм, ждали пока система придет в новое состояние покоя, и повторяли процедуру. Затем мы измеряли общее число рождений и смертей в "лавине" после каждого дополнительного возмущения. Было обнаружено, что распределение описывается степенным законом, указывая, что система самоорганизовывалась в критическое состояние.

Мы обнаружили также, что распределение живых ячеек является фракталом, который можно описать степенным законом. Среднее число активных ячеек на расстоянии r от данной активной ячейки было пропорционально r в степени D, где D оказалось равным примерно 1,7.

Но не является ли критичность случайной в том смысле, что она возникает только для очень специфичных правил, изобретенных Конвеем? Чтобы найти ответ на этот вопрос, мы построили модели, являющиеся вариациями игры "жизнь". Некоторые вариации были трехмерными; в других организмы добавлялись в систему по мере ее эволюции или вводились в определенные, а не в случайные ячейки. Все модели эволюционировали к критическому состоянию и могли быть описаны степенными законами, которые, судя по всему, зависят только от пространственной размерности.

Мы предполагаем, что наши модели могут иметь важные следствия для теоретической биологии. Игру "жизнь" допустимо рассматривать как игрушечную модель коэволюционной системы. Каждая ячейка может представлять ген очень простого вида, принимающий значение 1 или 0. Устойчивость каждого значения зависит от состояния среды, выраженного значениями генов соседних видов. Коэволюционный процесс переводит систему из начального случайного состояния в высокоорганизованное критическое состояние со сложными статическими и динамическими конфигурациями. Сложность глобальной динамики тесно связана с критичностью динамики. Фактически теория сложности и теория критичности могут быть по своей природе одинаковыми.

Биолог Стюарт Кауффман из Пенсильванского университета предложил модель эволюции, в которой виды представлены цепочками чисел (генов). Гены взаимодействуют как внутри видов, так и между ними. Кауффман предположил, что сложность жизни может быть тесно связана с существованием критического состояния. Наши исследования показывают, что эволюция может автоматически привести простую, более или менее случайную интерактивную динамическую систему точно к такому критическому состоянию. Если этот сценарий правилен, то эволюция действует на грани хаоса. Исчезновение динозавров, например, можно было бы рассматривать как лавину в динамике эволюции, и его объяснение не требует внешней силы — падения метеорита или извержения вулкана.

Филип Андерсон из Принстонского университета, Брайан Артур из Станфордского университета, Кауффман и один из авторов статьи (Бак) пришли к выводу, что флуктуации в экономике также могут быть лавинами в самоорганизованном критическом состоянии системы. Бенуа Мандельброт из корпорации IBM проанализировал такие показатели, как индекс Доу-Джонса, и обнаружил флуктуации, аналогичные шуму мерцания. Различные метастабильные стационарные состояния экономики могут соответствовать различным метастабильным состояниям песочной кучи или земной коры.

Традиционные модели предполагают существование очень устойчивого равновесного положения для экономики; при этом большие агрегатные флуктуации могут возникнуть только от внешних ударов, которые одновременно влияют на много разных секторов одинаковым образом. Однако часто трудно отыскать причины таких крупномасштабных флуктуации, как депрессия 1930-х годов. Если, с другой стороны, экономика является самоорганизованной критической системой, то более или менее периодических крупномасштабных флуктуации можно ожидать даже в отсутствие каких-либо общих для разных секторов "толчков".

Для проверки жизнеспособности этих идей мы вместе с Хосе Шейнкманом и Майклом Вудфордом из Чикагского университета создали простую модель, в которой компании, производящие разные продукты, занимают каждая свою позицию в двумерной решетке. Каждая компания покупает исходные материалы у двух компаний, расположенных на соседних позициях. Затем каждая производит новые продукты, которые пытается продать на открытом рынке. Если спрос на продукт каждой компании изменяется случайным образом на малую величину, многие компании могут испытать "лавину" в продаже и производстве. Расчеты показывают, что эта модель стремится к самоорганизованному критическому состоянию таким же образом, как и модель кучи песка. Большие флуктуации являются внутренним и неизбежным свойством динамики этой модельной экономики.

Теория самоорганизованной критичности может найти применение и в динамике жидкости. Давно считалось, что в турбулентной среде энергия сосредоточена в вихрях всех размеров. Мандельброт предположил, что рассеяние энергии происходит в микроскопической части пространства, занимающей сложную фрактальную структуру. Хотя эта гипотеза, судя по всему, согласуется с экспериментами, не существует ни теории, ни расчетов, которые бы воспроизводили такую картину.

В сотрудничестве с Гангом мы построили простую "игрушечную" модель турбулентности, которая работает в самоорганизованном критическом состоянии. Модель имитирует лесные пожары, где "деревья" растут равномерно, а горят (рассеивается энергия) фрактально. Можно считать, что рассеяние энергии вызывается последовательностью пожаров, распространяющихся, как лавины. В критическом состоянии имеется распределение пожаров и лесных участков всех размеров, соответствующее тому факту, что в турбулентной жидкости энергия хранится в вихрях всех масштабов. Хотя эта модель нереалистична для жидкостей, мы тем не менее предполагаем, что турбулентность может быть самоорганизованным критическим явлением. Одним из следствий этой гипотезы (которое можно легко проверить экспериментально) является то, что полностью развитая турбулентность представляет собой не "сильно" хаотическое явление, как обычно предполагается, а лишь слабохаотическое, как это имеет место в модели землетрясений.

МОЖНО ПРИДУМАТЬ и более экзотические примеры самоорганизованной критичности. Так, на протяжении человеческой истории войны и мирные взаимодействия между странами и народами могли привести к критическому состоянию, в котором конфликты и социальные волнения распространяются, как лавины. Самоорганизованная критичность может даже объяснить, как распространяется информация по нейронным сетям в мозге. Неудивительно поэтому, что блестящие идеи могут инициироваться малыми событиями (например, как мы надеемся, чтением данной статьи).