Бесконечные „числа"

Существуют и более длинные группы цифр, кото­рые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы по­кажем, бесконечно велико.

Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трех­значная группа цифр тоже обладала требуемым свой­ством.

Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через k. Тогда искомое трехзначное число изобразится:

100k + 76.

Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:

 

1000а + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 и т. д.

Перемножим два числа этого вида; получим:

1000 000ab + 100 000ak + 100 000bk + 76 000а + 76 000b + 10 000k² + 15 200k + 5776.

Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на 100k + 76, если разность:

 

15200k + 5776 -  (100k + 76) =15 100k + 5700 = 15 000k + 5000 +100 (k + 7)

делится на 1000. Это, очевидно, будет только при k = 3.

Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтов му и всякая степень числа 376 оканчивается на 376, Например;

376² = 141 376.

 

Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спе­реди. Если эту цифру обозначим через l, то придем к задаче: при каком  произведение

(10 000а +1000l + 376) (10 000b + 1000l + 376)

оканчивается на 1000l + 376? Если в этом произведе­нии раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, ко­торые оканчиваются на 4 нуля и более, то останутся члены

 

752 000l + 141 376.

 

Произведение оканчивается на 1000l + 376, если раз­ность

 

752 000l + 141 376 - (1000l + 376) = 751 000l + 141 000 = (750 000l + 140 000) + 1000 (l + 1)

делится на 10000. Это, очевидно, будет только при l=9.

Искомая четырехзначная группа цифр 9376. Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассу­ждать точно так же, как и выше. Мы получим 09376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109376, затем 7109376 и т. д.

Такое приписывание цифр слева можно произво­дить неограниченное число раз. В результате мы по­лучим «число», у которого бесконечно много цифр:

...7109 376.

Подобные «числа» можно складывать и умножать но обычным правилам: ведь они записываются спра­ва налево, а сложение и умножение («столби­ком») также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вы­числять одну цифру за другой — сколько угодно цифр.

Интересно, что написанное выше бесконечное «число» удовлетворяет, как это ни кажется невероят­ным, уравнению

х² = х.

B самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произве­дение его на себя) оканчивается на 76, так как ка­ждый из сомножителей имеет на конце 76; по той же причине квадрат написанного  «числа»  оканчи­вается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры «числа» х², где х=... 7109376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что х² = х.

Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 76'). Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:

5, 25, 625, 0625, 90 625, 890 625, 2 890 625 и т. д. В результате мы сможем написать еще одно беско­нечное «число»

... 2 890 625,

также удовлетворяющее уравнению х² = х. Можно бы­ло бы показать, что это бесконечное «число» «равно»

(((5)²)²)²………

Полученный интересный результат на языке бес­конечных «чисел» формулируется так: уравнение х² = х имеет (кроме обычных х = 0 и x = 1) два «беско­нечных» решения:

х=. . . 7109376 и х=. . . 2890625,

а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет²).

 

================================

 

') Заметим, что двузначная группа цифр 76 может быть най­дена при помощи рассуждений, аналогичных приведенным выше:

достаточно решить вопрос о том, какую цифру надо спереди при­писать к цифре 6, чтобы полученная двузначная группа цифр обладала   рассматриваемым   свойством.   Поэтому   «число» ...7109376 можно получить, приписывая спереди одну за дру­гой цифры к шестерке.

²) Бесконечные «числа» можно рассматривать не только в де­сятичной, а и в других системах счисления. Такие числа, рассма­триваемые в системе счисления с основанием р, называются р-адическими числами. Кое-что об этих числах можно прочесть в книге Е. Б. Дынкнна и В. А. Успенского «Математические бе­седы» (Гостехиздат, 1952).