Что такое теория чисел?

О значении теории чисел писали многие выдающиеся математики. Приведем высказывания двух великих ученых XVIII в. -- Леонарда Эйлера и Жозефа Лагранжа. Заметим, что теорию чисел часто называли "арифметикой" или "высшей арифметикой".

В "Лекциях по математике" (1795) Лагранж писал:

"Один древний говорил, что Арифметика и Геометрия -- крылья математики. Я считаю, что можно сказать без метафоры, что эти две науки являются основой и сущностью всех наук, изучающих величины.

Но они служат не только основой, они служат, так сказать, еще и дополнением. Так как когда находят результат, то, чтобы суметь его использовать, необходимо перевести его в числа или линии; чтобы перевести его в числа, нужна помощь Арифметики; чтобы перевести его в линии, нужна помощь Геометрии".

Леонард Эйлер, больше всех разделов математики любивший теорию чисел, горячо защищал ее от обвинений в бесплодности и отсутствии приложений:

"Среди всех проблем, которые обычно трактуются в математике, никакие не считаются большинством более бесплодными и лишенными приложений, чем те, которые состоят в изучении природы числа и исследовании делителей... Кроме того, что отыскание истины само по себе казалось бы похвальным и достойным человеческого познания, они (древние) хорошо чувствовали, что благодаря изучению этих предметов расширяется само искусство вычисления, и свойства ума становятся более способными для выполнения более трудных задач. Весьма правдоподобным кажется, что эта наука (математический анализ) никогда не достигла бы такой степени совершенства, если бы древние не посвятили столько сил развитию такого рода вопросов, какие сегодня большинство считает столь маловажными из-за их бесплодности. Потому не следует сомневаться в том, что дальнейшее усовершенствование этих вещей принесет впоследствии новые успехи анализу".

В самом деле, все развитие математики вызвано или успехами геометрии или достижениями теории чисел. Многие математические теории построены по аналогии с теоретико-числовыми. Не касаясь успехов математики, вызванных прогрессом геометрии (Евклид, Лобачевский, Риман!), остановимся на тесной связи развития математики с достижениями теории чисел.

В первую очередь развитие математики связано с расширением понятия числа. Объектом теории чисел являются целые числа. Обобщение понятия числа -- действительные числа -- позволило Ферма и Декарту создать метод координат, а с ним аналитическую геометрию и математический анализ.

Основная идея этого обобщения или расширения понятия числа состояла в следующем. Если целым числам ...--3, --2, --1, 0, 1, 2, 3,... соответствовали точки на числовой оси ох с целыми координатами, и обратно -- каждой точке с целой координатой соответствовало целое число, то после введения действительных чисел каждая точка числовой оси получила свою координату и каждому действительному числу, стала соответствовать какая-то точка на числовой оси. Получилось, как обычно говорят, взаимнооднозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек прямой.

Действительные числа обладают не только свойствами целых чисел, но и некоторыми новыми свойствами. Их можно складывать, умножать, делить, их можно возводить в степень, извлекать из них корни. Они приобрели новое свойство -- между точками на действительной оси нет промежутков, они идут сплошь, непрерывно, подобно тому, как чертит линию карандаш или как течет река. А от точки с целой координатой к другой такой же точке приходилось перескакивать через отрезок длины, равный одной или нескольким единицам. Это свойство действительных чисел можно выразить словом непрерывность -- множество действительных чисел обладает свойством непрерывности. Множество целых чисел обладает свойством дискретности или прерывности. Целые числа входят в множество действительных чисел, но в нем бесконечно много и других чисел. Существуют обобщения понятия числа и обобщения понятия целого числа, в которых сохраняются свойства целости, дискретности.

Другое расширение понятия числа -- комплексные числа, геометрическим изображением которых служат точки плоскости, на которой выбрана система координат. В множестве комплексных чисел есть числа с целыми комплексными координатами (например, 2 + 3i; -- 1 -- 7i и т.д.). Они образуют множество целых комплексных чисел, в котором сохраняются свойства целости. Геометрически такие числа представляются точечной решеткой на координатной плоскости.

Такие расширения понятия числа создают новые разделы математики и способствуют ее развитию. Особенно успешно действуют обобщения понятий теории чисел в тех случаях, когда они оказываются связанными с геометрией.

Так появился могущественный метод координат.

Измерение длин, площадей, объемов, объединяющее усилия геометрии и теории чисел, привело к возникновению интеграла и к созданию интегрального исчисления.

Процессы и методы теории чисел порождают аналогичные методы в алгебре, математическом анализе и т.д.

Так, алгоритм Евклида (процесс нахождения общего наибольшего делителя двух целых чисел) явился прообразом такого же алгоритма в алгебре многочленов, алгоритма разложения обыкновенной дроби в непрерывную. Теорема единственности разложения целого положительного числа на простые множители была источником новых идей в анализе и алгебре, основных в алгебраической и аналитической теории чисел. На ней основано знаменитое тождество Эйлера, послужившее, в свою очередь, основой для исследований П.Л.Чебышева, П.Лежен-Дирихле, Б.Римана и многих других. Теория чисел явилась источником идеи теории групп. Исследования в области теории чисел послужили основой для открытий Эвариста Галуа.

Предметом теории чисел служат свойства целых чисел. Расширение понятия числа и появление новых методов изменяют предмет теории чисел. Каждое новое расширение понятия целого числа порождает новую современную (для этого времени) теорию чисел. Возникли теория целых комплексных чисел, теория целых алгебраических чисел, арифметика кватернионов и т.д.

Исходные задачи теории чисел всегда связаны со свойствами целых чисел двух родов: 1) с мультипликативными свойствами (представление числа в виде произведения) и 2) с аддитивными свойствами (разложение числа на слагаемые). Объединить эти свойства помогают алгебраический я геометрический подходы к теории чисел.

Рассматривая целые числа как корни неопределенных уравнений (при алгебраическом подходе), мы объединяем эти свойства целых чисел. При геометрическом подходе совершенно равноправны мультипликативная задача о числе делителей некоторого данного целого положительного числа и аддитивная задача о числе представлений этого числа в виде суммы двух квадратов. Геометрически обе задачи сводятся к задаче определения числа целых точек в некоторой плоской области.

Методы теории чисел и всякой современной теории чисел порождены или непосредственно теорией чисел, или геометрией, или, имея своим источником эти науки, прошли путь, пролегающий в других частях математики. Различают элементарные, аналитические, геометрические, вероятностные методы. Иногда они применяются комбинированно. В зависимости от методов различают, например, геометрическую или аналитическую теорию чисел. Геометрическая теория чисел пользуется геометрическим истолкованием целых (или обобщенных целых) чисел и геометрическими средствами доказательства теорем теории чисел. Аналитическая теория чисел использует для решения задач средства математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисления, ряды) и теорию функций комплексного переменного. Содержание методов теории чисел постепенно изменяется и усложняется. Например, если при Эйлере аналитические методы теории чисел пользовались средствами дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов, то после работ Дирихле и Римана аналитические методы постоянно пользуются теорией функций комплексного переменного. Геометрические методы теперь связаны с теорией алгебраических многообразий. Используются в теории чисел теория групп и полугрупп, теория полей и колец -- средства современной алгебры.

Основные применения теории чисел

Первое и главное применение: объекты, задачи, идеи, понятия, методы теории чисел служат для создания и развития понятий, методов, алгоритмов в других областях математики.

Во-вторых, результаты и методы теории чисел могут применяться непосредственно, в той же форме, к другим вопросам математики, например к приближенному вычислению площадей и объемов, к решению алгебраических уравнений,.

В геометрии теоретико-числовые доказательства применялись, например, для установления признаков разрешимости или неразрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.