А.Я.ХЕЛЕМСКИЙ
Квантовая математика - суть и история
http://www.fund-intent.ru/science/scns037.shtml
На страницах сайта по данной тематике опубликованы статьи:
2. С.И.Доронин Роль и значение квантовой теории в свете ее последних достижений
3. С.И.Доронин Нагуализм с точки зрения квантовой теории
ОБ АВТОРЕ:
Хелемский Александр Яковлевич - доктор физико-математических наук, профессор МГУ.
Квантовая математика; сейчас это одна из математических наук и это довольно значительная часть большой науки Математики, имеющая весьма расплывчатые границы. Некоторые ученые и не подозревают, что занимаются квантовой математикой. Раньше по большей части говорили не "квантовая", а "некоммутативная" математика, а многие и сейчас предпочитают это название. Избегая формализованных и не понятных простому читателю определений, возможно ли описать, что подразумевается под этим термином?
Назревшая проблема заключалась в том, что был нужен математический язык, описывающий новые физические открытия, которые разрушили идиллическую гармонию «ньютоновской» или, если угодно, «лапласовской» картины мира. Условно назовем «лапласовскую» механику классической.
Можно сказать, что, в конечном итоге, математический аппарат классической механики – это просто действительные числа, результат измерения той или иной физической величины. Чуть точнее - в основе этого аппарата находятся действительнозначные функции на множестве всех возможных состояний, которые каждому состоянию ставят в соответствие действительное число (положительные и отрицательные числа, как целые, так и дробные, включая ноль).
Результат же измерения в классической механике понимается как приближенное значение некоего истинного значения – приближенное только потому, что наш измерительный прибор несовершенен - и, совершенствуя наши средства измерения, мы будем все более приближаться к этому «истинному» значению.
И вот этот идиллический мир классической механики в начале ХХ века рухнул!
Некая мистика, а может быть, указующий божий перст состоит в том, что в это же время, с громом августовских пушек 1914 года, рухнула идиллическая картина мира - то, что принято называть викторианским мироощущением: якобы, происходит непрерывный прогресс, и чем больше придумают ученые, тем счастливей будет человечество.
И там, и здесь - и в физике, и в общем развитии человечества - все оказалось куда сложнее, непредсказуемее, трагичнее.
Но оставим судьбы человечества в целом; что же, собственно, произошло в физике? Оказалось, что точного значения наблюдаемой в данном состоянии просто не существует, а имеет смысл говорить только о вероятности того, что это значение находится в том или ином числовом промежутке; вот и конец детерминистской картины мира.
Но для нас сейчас важнее всего не столько этот общий факт, сколько вот какая обнаруженная удивительная закономерность:
две физических величины, вообще говоря, не могут быть одновременно измерены с как угодно большой степенью точности, и не вследствие несовершенства приборов, а потому, что это в принципе невозможно.
Главный пример такого рода дает измерение двух физических величин, характеризующих движение частицы по прямой: речь идет о ее координате и о ее импульсе, равном скорости, умноженной на массу. Оказалось, что наш мир устроен так, что при одновременном измерении координаты и импульса в любом возможном состоянии мы находимся «в плену» у неравенства, которое называется соотношением неопределенности.
А теперь смотрите: если Вы совершенствуете прибор, измеряющий координату, то, в силу соотношения неопределенности, результаты одновременного измерения Вами импульса необходимо становятся все менее точными, и наоборот.
В 20-е годы началось, поначалу еще смутное, осознание того, какого сорта математика должна стоять, если можно так выразится, за подобным явлением.
В том гипотетическом математическом аппарате, который должен описывать эти странные законы квантовой механики, импульс и координата должны удовлетворять знаменитому ныне «каноническому коммутационному соотношению» (далее сокращенно ККС).
В середине 20-х годов два выдающихся физика, Гейзенберг и Шредингер предложили два с виду совершенно разных ответа. Получились две конкретных модели квантовой механики – «матричная» Гейзенберга и «волновая» Шредингера.
Гейзенберг предложил изображать координату не одним числом, а бесконечным набором чисел, зависящих от двух натуральных индексов (алгебра матриц). Его открытие тем более удивительно, что он сам (а это еще более поразительно) матриц не знал. Но мы, умные задним числом, можем сказать, что на самом деле он взял алгебру матриц, но не конечного размера, а бесконечных вправо и вниз, и таких, что на каждой строке и на каждом столбце только конечное число элементов отлично от нуля.
В результате физики разделились на «белых» и «красных» или лучше, в духе Свифта, остроконечников и тупоконечников - одни за Гейзенберга, другие за Шредингера. Увы, и сами творцы начали писать друг о друге, что, дескать, «та теория произвела на меня удручающее впечатление», а то и круче...
А между тем в математике уже более 10 лет было сделано открытие, которое подсказало бы этим выдающимся людям, что предмета спора на самом деле нет
Теорема, о которой мы говорим, относится к жанру, возможно, самых красивых теорем в математике - теоремах об изоморфизме. Попробуем объяснить на пальцах, что это за вид теорем.
Пусть у нас есть два с виду совершенно различных объекта, как это обычно бывает, два множества, наделенные какими-то структурами - скажем, алгебраическими операциями, а может быть, порядком, а может быть, топологией (то есть аксиоматически заданным непрерывным переходом от одних точек к другим). Так вот, говорят, что с точки зрения этих структур наши объекты "изоморфны" (если вы можете наложить одно множество на другое, совмещая соответствующие точки, то при этом в очевидном смысле совместятся и структуры - сохранятся алгебраические операции, либо, смотря по смыслу, порядок, непрерывный переход и т. п.). Помните, как в школе мы накладываем треугольники один на другой - это и есть простейший пример изоморфизма.
А что же у нас? Оказывается, при рассмотрении схемы Гейзенберга мы неизбежно приходим к рассмотрению некоторого конкретного линейного пространства, в котором его, Гейзенберга, матрицы «записывают неограниченные линейные операторы в этом пространстве».
Так из матричной механики Гейзенберга и волновой механики Шредингера родилась единая «квантовая механика», использующая, как это стали говорить много лет спустя, аппарат квантовой математики.
Между прочим, это сейчас, на исходе века, мы воспринимаем подобное заявление как банальность, а тогда, в двадцатые, мысль о единстве обеих теорий оказалась отвергнутой обеими творцами. Эту точку зрения, (сейчас это почти банальность) не приняли оба творца, и каждый остался при своем мнении, что «его механика лучше, а математики пусть говорят, что хотят».
Об этом хорошо описано в рецензии выдающегося математика и математического физика Ирвинга Сигала на книгу Алэна Конна «Некоммутативная геометрия» - пожалуй, самую модную книгу по современной математике последних лет. Сам же Конн - еще один из главных героев наших рассказов, которому, как мы увидим, удалось завершить дело, начатое фон Нойманном. Так вот, говоря о столь странной, с позиций сегодняшнего дня, «несгибаемости», филдсовский лауреат, о котором я еще надеюсь сказать несколько слов, Сигал меланхолично комментирует это приблизительно так: математику, сделавшему крупную работу по физике, нечего рассчитывать на понимание практических физиков, по крайней мере, в том же поколении.
И вообще, раз такие минорные вещи пошли в нашем рассказе, уместно вспомнить, что говорил еще один великий физик - Макс Планк, предтеча Гейзенберга и Шредингера, о том, каким образом новые идеи в науке побеждают и становятся общепринятыми. Вовсе не потому, писал он, что крупные ученые, ранее отвергавшие, в силу естественного консерватизма, новые «сумасшедшие» теории, впоследствии прозревают. Просто, увы, идет естественная смена поколений, и старики просто уходят - а молодежь ведь всегда восприимчивее...
А теперь, завершая это «беллетристическое» отступление, я хочу сказать несколько общих фраз о взаимоотношениях математиков и физиков.
Когда они понимают друг друга и по возможности работают вместе, обе науки бурно развиваются и процветают. Когда нет, обеим плохо: математика лишается одного из мощнейших внешних импульсов к своему развитию, а физики, не получая адекватного языка для изложения своих теорий, в конце концов перестают понимать как друг друга. А вот тогда, в шестидесятые, и достигал своего апогея тот самый разлад, который, в частности, выражался в том, что нас так обучали физике, что привили если не отвращение, то полное равнодушие к предмету, приучили видеть в нем нечто вроде разновидности шаманизма, следующую ступень после марксистско-ленинской передовой теории. В результате то, что они подавали нам как разумное упрощение, мы воспринимали как вульгаризм и профанацию. «Вот возьмем произвольный оператор и его собственный вектор», - вещал такой учитель. А нас-то давно научили, что теория операторов в бесконечномерных пространствах тем и характерна, что там операторы, вообще говоря, не имеют собственных векторов... А почему мы должны принять на веру, что вот эти члены в разложении данного ряда можно отбросить без ущерба? Мы, которых Александров и Колмогоров, Петровский и Курош обучали тому, что такое строгое рассуждение! Парадоксально, но чем способнее и сильнее был студент, тем более искаженным складывалось у него представление о предмете физики; по крайней мере преподавание этой науки ему казалось систематическим надувательством.
В это время на занятиях по философии звучала критика исчисления бесконечно малых со стороны знаменитого епископа Беркли? Критика, сыгравшего исключительно ценную роль в постановке этого исчисления на строгий математический базис. «Если вы верите в ваши бесконечно малые, - так приблизительно писал Беркли, - то уж тогда не должны сомневаться в святой Троице и непорочном зачатии, куда более, на мой взгляд, правдоподобных вещах»...
Но вот, наша затянувшаяся предыстория кончилась, и начинается история.
В конце 20-х годов некий математик поставил перед собой поистине амбициозную цель: поставить квантовую механику на прочный математический фундамент, сделать ее столь же стройной, как классическая механика, а в идеале превратить ее в по существу математическую теорию со своей системой аксиом, определениями и теоремами - этакие квантово-механические "Начала" Евклида. Одновременно он чувствовал, что требуемый для достижения подобной цели математический аппарат позволит ему убить еще нескольких «чисто математических» зайцев, о которых мы сейчас говорить не будем (только упомянем, что речь идет о проблемах теории представлений групп и бесконечномерных аналогах классических теорем Веддерберна).
Этот математик - не кто иной, как фон Нойманн. Сейчас мы подробнее поговорим о нем, о том, что ему удалось сделать, и чего не удалось.
Если математика спросят, кто самые великие представители его науки в последней четверти XIX - самом начале ХХ века, ответ очевиден: Давид Гильберт и Анри Пуанкаре. Все остальные либо явно разнятся в калибре, либо принадлежат уже другой эпохе (как, скажем, Риман).
С той же частью нашего столетия, когда уже можно, хотя и с опаской, пытаться составлять табель о рангах и сравнивать достижения самых выдающихся ученых - давайте возьмем период с 20-х по 60-е годы, - ситуация, пожалуй, такова.
Если попросить назвать самого великого математика этой поры, человек смутится. А двух? Вот тогда, я убежден, 95% профессиональных математиков ответят: Джон фон Нойманн и Андрей Николаевич Колмогоров. Вопрос, кто из них лучше, столь же нелеп, как подобный же вопрос о Пушкине и Шекспире: «Оба лучше!» Кстати, если попросить назвать троих, вот тут уже начнутся разночтения: многие назовут И.М.Гельфанда, но многие - Германа Вейля, а иные - и Гротендика; это косвенно подтверждает какой-то особый статус тех двоих.
А вот одно любопытное свидетельство. В свое время Колмогорову, кстати, родившемуся в том же 1903 году, что и фон Нойманн, стукнуло 70, и во многих журналах, в том числе и на Западе, появились юбилейные статьи. В одной из них Колмогоров сравнивался с «отцом кибернетики» Норбертом Винером. Однако Андрей Николаевич был, конечно, очень скромным человеком, но цену себе знал. И, по свидетельству одного из своих близких учеников, вовсе польщен этим не был, а сказал вроде так: «Чего это они - Винер да Винер! Сравнили бы лучше с фон Нойманном!» Как видите, на самой вершине Олимпа люди чувствуют свой табель о рангах...
Но насколько же разнится характер творчества этих двух гигантов! Фон Нойманн - это математический Моцарт (или Пушкин?). Все ему дается без всякого видимого напряжения, он жизнерадостен, артистичен, любит шутки, женщин, азартные игры... Обосновавшись в Америке, он первым делом научился выигрывать в близлежащем казино, разработав соответствующую теорию, а потом всем ее объяснил - так что много не заработал, но шуму наделал. Словом, любимец богов. Такие люди, как учат нас древние греки, умирают молодыми, вот он и умер 53 лет от роду, от рака. А Андрей Николаевич, хотя и прожил долго, был во многом, несмотря на внешнее благополучие, трагической фигурой.
Вообще-то точка пространства-времени, в которую его угораздило попасть, к веселью особо не располагала, и в нем, как и во многих его современниках из числа крупных деятелей культуры, постоянно жил страх. И даже старость его была омрачена по сути дела травлей - поносились его школьные учебники, а в унисон один мерзавец в печати обвинил его, мягко говоря, в пособничестве враждебным силам. Повод состоял в том, что Колмогорову присудили какую-то престижную премию в Израиле, не то по эргодической теории, не то по турбулентности - а кому же в мире давать премию по таким специальностям, если не ему?
Но и помимо внешних удручающих обстоятельств само творчество Андрея Николаевича поистине драматично. Когда он всерьез занимался какой-либо проблемой, он по-настоящему «заболевал ею» и не мог от нее отвлечься; в результате, подарив миру свою очередную выдающуюся работу, он выходил из такого рода «творческого запоя» почти надломленным человеком.
Но, обладая большим умом и склонностью к самоанализу, он себя прекрасно знал и выработал замечательное лекарство - спорт: уходил в походы, многочасовые лыжные прогулки и так приходил в себя. А потом все повторялось снова...
Но вернемся к фон Нойманну; вот несколько биографических сведений. Он родился в декабре 1903 в Будапеште, втором городе Австро-Венгрии и столице Венгерского королевства. Это был отпрыск богатой семьи. Родители звали его то Янош, то Иоганн - а что он кончит свои дни как Джон, он и не подозревал. Отец его получил дворянское звание - отсюда и «фон». В детстве Янчи был, что называется, крутой вундеркинд, и не только рано проявил математическое дарование, но еще и соображал феноменально быстро.
Не правда ли, полная противоположность Эйнштейну, которого как, как вы, наверное, слышали, даже отец утешал в детстве: «Не горюй, Альберт, не всем же быть профессорами...»
Еще в детстве фон Нойманна заметили профессора Будапештского университета, и очень рано он стал считаться профессиональным математиком.
Но когда ему было 15, семье пришлось бежать из Венгрии: там пришел к власти Бела Кун и воцарился красный террор; ясно, что грозило отцу. Семья переехала в Германию, где Иоганн приобрел уже международную известность и стал работать сперва в Берлине, а потом в Гамбурге. Но и там постепенно становилось все более неуютно: поднимал голову нацизм. В конце 20-х фон Нойманн побывал в США, где сразу почувствовал себя как рыба в воде (что, кстати, не так уж типично для высококультурного европейца). В 31-м году он принял приглашение переехать в Принстон и вскоре стал одним из немногих профессоров в высшей степени элитарного заведения - Принстонского института высших научных исследований (из других славных имен принстонских профессоров упомянем Эйнштейна и Г. Вейля).
Канун переезда фон Нойманна в США как раз и является нашей точкой отсчета. Ведь именно тогда он и замыслил создать ту математику, на которой будут разговаривать квантовые механики.
Действительно, здесь он во многом преуспел. Ему удалось создать систему аксиом, которая и по сей день остается в основе большинства приложений, хотя, как выяснилось, и не решила всех проблем.
Для нашего рассказа важно то, что центральным понятием этой системы аксиом является то самое абстрактное гильбертово пространство – бесконечномерный аналог того трехмерного, где мы живем - о котором уже говорилось. А те примеры, о которых упоминалось, надо рассматривать как реализации этого абстрактного пространства, приспособленные для тех или иных конкретных задач (вспомните теорему Фишера-Рисса). Выбор конкретной реализации диктуется соображениями удобства для той или иной задачи, но фундаментальные основы надо закладывать в абстрактном контексте – иначе за деревьями леса не увидим.
Следующий шаг фон Нойманна: различным квантово-механическим системам соответствуют, вообще говоря, различные алгебры определенного вида, состоящие из операторов, действующих в гильбертовом пространстве.
Эти алгебры, которые сейчас называются алгебрами фон Нойманна и которые я сейчас определю, как раз и являются одним из основных понятий квантовой математики и играют центральную роль в одном из главных разделов этой науки - квантовой теории вероятностей. Физические величины, они же наблюдаемые, соответствуют самосопряженным элементам этих алгебр; в каком смысле понимается самосопряженность, мне также предстоит вскоре объяснить. К сожалению, у меня нет возможности рассказать о том, какой математической процедуре соответствует измерение этих физических величин, но ее основная смысловая нагрузка - в том, что мы получаем не точное число, а лишь некое распределение вероятностей. Конец детерминизму и лапласовой картине мира!
Введя свои алгебры, фон Нойманн поставил перед собой великую и, как мы теперь знаем, недостижимую цель: описать их всех с точностью до изоморфизма (отождествления, сохраняющего все имеющиеся в них структуры). Если бы ему удалось это сделать, то квантовая механика оказалась бы четко очерченной, не очень трудной и совершенно законченной наукой. Но Бог решил иначе - а сколь многообещающим было начало...
Здесь уместно сделать отступление чисто «человеческого» характера. Как современники отнеслись к этой новой деятельности фон Нойманна? Думаете, с энтузиазмом? Как бы не так! Это сейчас, по прошествии добрых 70 лет, когда математика спросят «что сделал фон Нойманн?», он, не задумываясь, начнет с алгебр фон Нойманна. А тогда? Хотя фон Нойманну было 27 лет, он уже был всемирно известен, хотя великим его еще не называли. В 30-м году у него за плечами уже и замечательные работы по основаниям математики, и открытие аменабельных групп, и замечательные продвижения в эргодической теории (в этой области только Колмогоров мог с ним сравниться), и работы по группам Ли, значительно облегчившие будущее решение (уже другими) пятой проблемы Гильберта. Но вот это последнее увлечение... Современники рассуждали приблизительно так: что ж, крупный математик «имеет право на маразм», не все же время заниматься по-настоящему важными вещами, пусть расслабится. (Подобное отношение разделялось большинством математиков еще в 60-е годы. «Красиво то оно красиво, да только что с этим делать?...»)
Кстати, опять параллель с Колмогоровым. Что сделал Андрей Николаевич? Первый «импульс ответа»: теорию вероятностей! Так вот, есть письмо Н.Н.Лузина - да, того самого знаменитого учителя доброй половины московской школы – к своему бывшему ученику Колмогорову, где он пишет примерно в таком духе: «Вам бы надо крупные научные проблемы решать, с Вашим-то талантом, а Вы какой-то методической деятельностью занялись...»
Но подобное отношение современников для математики, увы, скорее типично, и особенно это касается вопроса о возможных приложениях. Вот что пишет сам фон Нойманн (смотрите посвященный ему двухтомник в серии "Классики науки", 1986 г.).
«Большая часть математики, которая стала полезной, развивалась без всякого намерения быть полезной и в ситуации, где никто, возможно, и не знал, в какой области она станет полезной; и не было даже никаких указаний на то, что это когда-либо произойдет. В целом, несомненно, верно, что в математике существует промежуток времени между математическим открытием и моментом, когда оно становится полезным; этот промежуток может длиться от 30 до 100 лет, иногда даже больше, и вся система развивается без определенной цели, без всякой связи с полезностью (usefulness) и без всякого стремления к развитию того, что полезно». И далее: «И мне кажется исключительно поучительным следить за ролью науки в повседневной жизни и отмечать, как в этой области принцип laisser faire приводит к неожиданным и поразительным результатам».
...А как же догадаться, что данная совершенно абстрактная работа пригодится?
Опыт показывает, что здесь почти безотказно действует эстетический критерий: красиво - тогда наверняка пригодится, не нам, так детям нашим!
На этом фоне особенно грустно читать близорукие статьи, скажем, в "Поиске", где нас поучают, что фундаментальные науки должны ориентироваться на скорейшие, сразу обозримые, приложения (мне это напоминает статьи о партийности искусства...)
Снова вернемся к фон Нойманну. Он чувствовал свою правоту и уверенно шел своей дорогой.
Итак, одно время фон Нойманн думал, что схватит Бога за бороду – что вот-вот найдет все «свои» алгебры. И действительно, первые впечатляющие успехи располагали к такому оптимизму.
В 30 г. им была доказана ныне знаменитая теорема, которую я даже сформулирую, ибо это первая по времени теорема квантовой математики. Она называется «теорема фон Нойманна о двойном коммутанте».
Этот результат, содержит нечто большее, чем просто математическое утверждение. Ведь с его позиций можно заявить, что произвольная алгебра фон Нойманна должна рассматриваться как некоммутативное, или квантовое, обобщение алгебры измеримых функций, то есть что это «некоммутативная теория вероятностей». Вот, казалось бы, пустой набор слов, чуть ли не словоблудие какое-то... А между тем это - руководство к действию. Зная теорию меры, можно предугадывать результаты в соответствующей квантовой теории - работает «вероятностная» интуиция.
Так, например, нашла красивую и важную некоммутативную версию классическая теорема Радона-Никодима теории меры. Обратно, знание алгебр фон Нойманна помогает лучше разобраться в фактах самой теории меры как некоего предельного, или «классического», случая, соответствующего нулевой постоянной Планка. Выигрывают и физики, получая новый взгляд на вещи и новую методику. Вот яркая иллюстрация: с этих позиций плодотворно интерпретировать события в квантовой механике как подпространства в гильбертовом пространстве - потому что в коммутативном случае эти подпространства можно естественным образом отождествить с измеримыми подмножествами, то есть «классическими» событиями.
В 40-е годы наблюдается постепенный спад активности в исследовании алгебр фон Нойманна. Причины тому две. О "внутренней" я уже говорил: существовавшие методы уже не давали - а теперь мы видим, что и не могли дать - существенно новых продвижений. Но была и "внешняя причина": совсем рядом, в изучении тех же операторных алгебр, но только замкнутых в смысле другой сходимости, произошли революционные события, и центр интересов, по крайней мере на время, сместился туда.
Рядом с теорией алгебр фон Нойманна или, как сейчас многие говорят, квантовой (некоммутативной) теорией вероятностей (или меры), появилась, потеснив ее, теория особых алгебр, называемая также - мы вскоре это обсудим – квантовой (некоммутативной) топологией. Забегая вперед, я отмечу, что обе теории долгое время развивались без особой связи друг с другом; каждая имела свой круг понятий, методов и проблем. И только в 60-е годы произошел синтез обеих наук, и они объединились в "теорию операторных алгебр". (Задним числом оказалось, что ключевое понятие для этого будущего единства - обертывающая алгебра фон Нойманна данной алгебры - было заложено уже в доказательстве самой теоремы Гельфанда-Наймарка, но только сами авторы этого в то время не подозревали). Воистину, «настоящая» теорема отвечает не только на поставленный вопрос, но и на ряд еще не поставленных...
Теорема Гельфанда-Наймарка была доказана в 1943 году. А в 93-м ее 50-летие было отпраздновано международной математической общественностью. Американское Математическое Общество - увы, не Московское - устроило специальную конференцию, посвященную этому событию, на которой лучшие специалисты по теории операторных алгебр рассказывали о различных аспектах этой науки, выросших из великой теоремы. Книга открывается портретами двух Создателей. (Разрешите замечание "личного свойства". Почему-то у выдающихся математиков часто бывают плохие, иногда просто отвратительные характеры. Лаплас, Ньютон, Коши, Галуа - все они были далеко не ангелы. Но вот образ Наймарка поистине светел. Это был настоящий джентльмен в науке и жизни - доброжелателен, благороден, щедр. Предложенная им мне задача оказалась настолько глубока, что фактически определила всю мою дальнейшую математическую жизнь.)
Похоже самое время рассказать о самой теореме о самой теореме. В сущности, Гельфанд и Наймарк доказали две всемирно известных теоремы. Обычно люди (как и я в предыдущем разговоре) имеют в виду вторую (о некоммутативных алгебрах), но бывает, что и первую (о коммутативных алгебрах и непрерывных функциях); эта первая, представляя огромный самостоятельный интерес - мы это увидим - играет для второй роль важного подготовительного утверждения. Я сперва произнесу нечто вроде заклинания, а потом, после этого акустического эффекта, разъясню более точно, что же было доказано. А именно, если перефразировать хорошо известное в этих горах утверждение пророка Мухаммеда о единственности Бога, то применительно к открытиям Гельфанда и Наймарка можно провозгласить:
Первая теорема: нет коммутативных алгебр, кроме алгебр непрерывных функций!
Вторая теорема: нет $C^*$-алгебр, кроме операторных $C^*$-алгебр!
Литература:
1 Нейман И. Математические основы квантовой механики. М., 1964.
2 Нейман Д. Избранные труды по функциональному анализу. Т. 1-2. М., 1987.
3 Мерфи Дж. C*-алгебры и теория операторов. М., 1997.
4 Хелемский А.Я. Лекции и упражнения по функциональному анализу. М., 1993.
5 Connes A. Noncommutative geometry. London, 1990.
6 Doran R.S. (ed.). C*-algebras: 1943-1993. A fifty year celebration. AMS, 1994.
7 Emch G.G. Mathematical and conceptual foundations of 20th-century Physics. Amsterdam, 1984.
8 Jones V.F.R. Subfactors and Knots. AMS, 1991.
9 Helemskii A.Ya. An elementary realization of a non-discrete factor//Russian Journal of Mathematical Physics. 2000. V.7. №.2.
10 Johnson B.E. Presidential address. Non-commutative generalizations of Mathematics//Bull. London Math. 1982. Soc., 14.
11 Macrae N. John von Neumann: the scientific genius. AMS, 1991.
12 Segal I.E. Noncommutative geometry, by Alain Connes (review)//Bull. Amer. Math. 1966. Soc., 33. № 4.
